群表示论、Abel群的表示和特征标（2014-6-17~6-18、6-19，2015-10-15~10-18）

刘瑞琴，胡去非：有限群的特征标矩阵与离散傅里叶变换
http://wenku.baidu.com/link?url=DepGAm3ombAWtZPSDX2Vg6EpY9jSRzBk3MoF2yumqpbT09KBAFEEr_u_jSGhPRH9qAShO3yF5yEjN3DFylzepzArDeUNhNEpBC4IIYlLU4q
摘要：有限的模N剩余类加群Z_N的特征标矩阵是正交矩阵，其恰好就是N点序列的离散傅里叶反变换的变换矩阵，这可为用代数理论分析和处理离散数字信号提供了一种新方法和途径。
离散傅里叶变换的变换矩阵是正交矩阵，有限Abel群的特征标矩阵是正交矩阵，例如直积群的特征标矩阵是一个阶为2^n的沃尔什函数矩阵。
显然，模N剩余类加法群Z_N的特征标矩阵是N阶正交矩阵。
已知N点有限长序列x(n)(n=0,1,…,N-1)，则x(n)的离散傅里叶变换为X(k)(k=0,1,…,N-1)，其变换对表达式为
X(k)=DFT[x(n)]
x(n)=IDFT[X(k)]
反变换矩阵IDFT是正交矩阵，恰好是模N剩余类加群Z_N的特征标矩阵。
20151028：n有原根<=>(Z/nZ)^*是φ(n)阶循环群；n没有原根<=>(Z/nZ)^*是φ(n)阶非循环Abel群。
20151019猜想：1、同阶Abel群与它们的特征标表一一对应。2、同阶Abel群与它们的群元阶的分布一一对应。
n次单位根群Un∈U(1)(1761年)
gap> UR4:=Group([[1]],[[E(4)]],[[E(4)^2]],[[E(4)^3]]);;IdGroup(UR4);
[ 4, 1 ]
gap> UR4:=GroupWithGenerators([1,E(4),E(4)^2,E(4)^3]);;IdGroup(UR4);
[ 4, 1 ]
gap> UR4:=GroupWithGenerators([E(4)]);;IdGroup(UR4);
[ 4, 1 ]
gap> UR5:=GroupWithGenerators([E(5)]);;IdGroup(UR5);
[ 5, 1 ]
gap> UR5:=GroupWithGenerators([1,E(5),E(5)^2,E(5)^3,E(5)^4]);;IdGroup(UR5);
[ 5, 1 ]
gap> I:=[[1,0],[0,1]];;r120:=[[-1/2,Sqrt(3)/2],[-Sqrt(3)/2,-1/2]];;r300:=[[1/2,-Sqrt(3)/2],[Sqrt(3)/2,1/2]];;C6:=Group(I,r120,r300);;IdGroup(C6);Order(r120);Order(r300);
[ 6, 2 ]
3
6
平凡群
C1:=FreeGroup(0);Order(C1);IsCyclic(C1);IsAbelian(C1);
整数加群(Z,+)=<a>
z:=FreeGroup(1);Order(z);IsCyclic(z);IsAbelian(z);
模n剩余类加群(Z/nZ,+)=<a|a^n=e>
z:=FreeGroup(1);z4:=z/[z.1^4];IdGroup(z4);IsCyclic(z4);IsAbelian(z4);
无限非Abel群z2=<a,b>
z2:=FreeGroup(2);Order(z2);IsCyclic(z2);IsAbelian(z2);
无限非循环Abel群Z2=Z+Z
Z2:=DirectProduct(z,z);Order(Z2);IsCyclic(Z2);IsAbelian(Z2);
4阶非循环Abel群K4=C_2+C_2
GAP[4,2]=<a,b|a^2=b^2=e,ab=ba>
F:=FreeGroup(2);G:=F/[F.1^2, F.2^2, F.1 * F.2 * (F.2 * F.1)^(-1)];IdGroup(G);IsCyclic(G);IsAbelian(G);
6阶二面体群D_3(2004.12.15-2009.9.2)的正规子群
H:=Group((),(1,2,3),(1,3,2));;IdGroup(H);S3:=Group((),(1,2,3),(1,3,2),(1,2),(1,3),(2,3));;IdGroup(S3);I:=();;r:=(1,2,3);;rr:=(1,3,2);;f:=(1,3);;fr:=(2,3);;frr:=(1,2);;D3:=Group(I,r,rr,f,fr,frr);;IdGroup(D3);IsNormal(H,S3);IsNormal(H,D3);IsSubgroup(S3,H);IsSubnormal(S3,H);
H=AlternatingGroup(3);IsSubset(H,[()]);IsSubset(H,[(1,2,3)]);IsSubset(H,[(1,3,2)]);I=f*f;r=frr*f;r=fr*frr;r=f*fr;rr=f*frr;rr=frr*fr;rr=fr*f;IsSubset(H,[I]);IsSubset(H,[r]);IsSubset(H,[rr]);
gap> I:=[[1]];;r:=[[-1/2+E(4)*Sqrt(3)/2]];;rr:=[[-1/2-E(4)*Sqrt(3)/2]];;C3:=Group(I,r,rr);;IdGroup(C3);r*r=rr;
[ 3, 1 ]
true
gap> I:=[[1,0],[0,1]];;r:=[[-1/2,Sqrt(3)/2],[-Sqrt(3)/2,-1/2]];;rr:=[[-1/2,-Sqrt(3)/2],[Sqrt(3)/2,-1/2]];;C3:=Group(I,r,rr);;IdGroup(C3);r*r=rr;
[ 3, 1 ]
true
gap> f:=[[1,0],[0,-1]];;fr:=[[-1/2,Sqrt(3)/2],[Sqrt(3)/2,1/2]];;frr:=[[-1/2,-Sqrt(3)/2],[-Sqrt(3)/2,1/2]];;D3:=Group(I,f,fr,frfr);;IdGroup(D3);fr*r=frr;f*r=fr;
[ 6, 1 ]
true
true
S_3={I,r,r^2,f,fr,fr^2}，其中取复数a+bi的二阶实矩阵表示为{{a,b},{-b,a}}[按：当然也可以取复数a+bi的二阶实矩阵表示为{{a,-b},{b,a}}]，I={{1,0},{0,1}},r={{cos(2pi/3),sin(2pi/3)},{-sin(2pi/3),cos(2pi/3)}},r^2={{cos(4pi/3),sin(4pi/3)},{-sin(4pi/3),cos(4pi/3)}}∈SO(2),f={{1,0},{0,-1}},fr={{cos(2pi/3),sin(2pi/3)},{sin(2pi/3),-cos(2pi/3)}},fr^2={{cos(4pi/3),sin(4pi/3)},{sin(4pi/3),-cos(4pi/3)}}∈O(2),但!∈SO(2)。
费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯1849年10月26日生于柏林，1917年8月3日卒于柏林州夏洛腾堡。父亲是一位教区牧师，母亲名叫伊丽莎白，姓弗里德里希。
弗罗贝尼乌斯是在传统体制下接受早期教育的。1867年进入哥廷根大学，开始他的数学学习。当时德国大学中没有数学系，数学是哲学院的一个专业，有哲学博士学位，而没有单独的数学博士学位。1870年，弗罗贝尼乌斯在柏林完成学业并获博士学位。
当时，随着世界科学中心的转移，数学研究中心也由法国移至德国。除1825年创刊的《纯粹与应用数学杂志》外，1869年又创刊发行了《数学年鉴》。70年代，虽然哥廷根继高斯、狄利克雷和黎曼之后处于相对低潮，但柏林却由于库默尔、魏尔斯特拉斯、克罗内克等人而比较繁荣。处于这样一种良好的研究氛围中，弗罗贝尼乌斯撰写了一系列比较优秀的数学论文。1874年，他被聘为柏林大学副教授，第二年又成为瑞士苏黎士高等工业学校教授。1876年，弗罗贝尼乌斯与莱曼结婚。
1870年左右，群论成为数学研究的主流之一。弗罗贝尼乌斯在柏林时就受到库默尔和克罗内克的影响，对抽象群理论产生兴趣并从事这方面的研究，发表了多篇有价值的论文。1892年，他重返柏林大学任数学教授。1893年当选为柏林普鲁士科学院院士。
弗罗贝尼乌斯的论文数量很多，其中相当一部分非常重要。他有几篇文章是与其他著名学者合作的，尤其与施蒂克尔贝格和舒尔的合作最为成功。舒尔是弗罗贝尼乌斯的学生，被认为是抽象群表示论的初创者之一，他发展和简化了弗罗贝尼乌斯的一些结果。弗罗贝尼乌斯生前没有专著出版， 1968年，他的论文以论文集的形式重新出版，共3卷。
弗罗贝尼乌斯的主要数学贡献在群论方面，尤其是群的表示理论。19世纪70,80年代，数学家们通过联系群的三个主要历史根源（代数方程的求解理论、几何、数论）创造了抽象群的概念。抽象群是现代意义下的第一个抽象数学结构。弗罗贝尼乌斯对抽象群概念的形成做出了奠基性的贡献。在与施蒂克尔贝格合作的“关于可换元素群”（1879），发表于1895年的“有限群”都是关于抽象群概念的重要文章。1887年，他证明了有限抽象群中的Sylow定理，即如果一个有限群的阶能被一个素数p的方幂p^n整除，则它恒包含一个p^n阶子群。19世纪90年代，弗罗贝尼乌斯研究可解群，发现阶不能被一个素数的平方整除的群全都是可解的。
20世纪初，受戴德金来信的鼓舞，弗罗贝尼乌斯开始创立和发展群论中最系统和最本质的部分——有限群的表示理论。群表示论的核心是群特征标理论。弗罗贝尼乌斯发表的与这一论题相联系的论文有“群特征标”（1896），“论有限群线性代换”（1899），“关于群特征的结构”（1899），以及与舒尔合作的“论实有限群”（1906）等。
在发表于1896年的三篇文章“可交换矩阵”、“群特征标”和“群行列式的素因子”中，弗罗贝尼乌斯建立了有限群特征论的基础，解决了戴德金提出的非Abel群的群行列式分解问题。
在“论有限群线性代换”中，弗罗贝尼乌斯首次介绍了有限群的表示这一概念。设G是有限群，C是复数域，他定义一个表示是一个同态T:G->GL_d(C)，这里GL_d(C)是C上可逆的d*d矩阵群。他还对有限群引进可约表示和完全可约表示的概念，证明了一个正则表示包含所有不可约表示。表示论的不变量是迹函数，弗罗贝尼乌斯称迹为表示的特征。这个定义比较简单，成为今天的标准定义。在“群特征标”一文中，他曾给出一个叙述颇为复杂的定义。特征实际上确定了表示，可以证明：两个表示等价，当且仅当它们的特征等价。
问题：群表示论与矩阵论、数论的解析方法的联系？
§10.Abel群的特征
§3.8近代分圆域理论（Ⅱ）：有限群表示论的应用
有限群的（复）表示理论起源于19世纪末期Frobenius的工作。在20世纪30年代交换代数产生之后，群表示论逐渐采用模论的语言。
数论中采用表示论可以上溯到狄利克雷甚至高斯。二次剩余的勒让德符号，高斯和以及狄利克雷L-函数L(s,χ)种使用的模m狄利克雷特征就是有限Abel群(Z/mZ)^*的特征（一次表示）。他们在研究高斯和以及L(s,χ)的性质中均使用了特征的正交关系。
Abel群G的每一共轭类只含一个元素，也就是说，G上每一个函数都是类函数。这种群的线性表示特别简单。
定理9：下列性质是等价的：
1.G是一个Abel群。
2.G的一切不可约表示都是一级的。
定理7：G的不可约表示的个数（确切到同构）等于G的共轭类的个数。
G的两个元素t和t'说是共轭的，如果存在s∈G使得t'=sts^(-1)；这是一个等价关系，这个关系将G划分成类（也叫做共轭类）。
——群G的共轭类个数k是G的不变量，G是Abel群当且仅当k=|G|
——群G的共轭类个数与群G的同阶元个数分布是G的两个不变量，同阶元之间不一定共轭
 
在n阶循环群C_n中，对n的每一个正因子m，阶为m的元素恰好有φ(m)个，由此证明等式Σ[m|n]φ(m)=n。
设群G是24阶群且C(G)=1，试证明G=S_4。
由置换(1,2,…,n)={2,3…n,1}生成的循环群特别称为n次循环群，记作C_n，它的阶等于n。
C_4=<(1234)>={{{1,0},{0,1}},{{0,1},{-1,0}},{{-1,0},{0,-1}},{{0,-1},{1,0}}{<}GL_2(R)
C_2×C_2={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}={{{1,0},{0,1}},{{1,0},{0,-1}},{{-1,0},{0,1}},{{-1,0},{0,-1}}{<}GL_2(R)
证明S_n=<(12),(13),…,(1n)>
证明S_n=<(12),(123…n)>
证明交错群A_n，n>=3是由3循环生成的，并且事实上A_n=<(123),(124),…,(12n)>
群SL_2(Z)包含有元素A={{0,1},{-1,0}}和B={{0,1},{-1,-1}}，阶数分别为4和3。证明<AB>是SL_2(Z)中的无限循环子群。这说明群G中两个有限阶元素的乘积不一定是有限阶元。这件事在Abel群中成立吗？
整数加群由元素1或-1生成。{1,-1}=C_2=GL_1(Z)
矩阵{{1,1},{0,1}}生成SL_2(Z)的一个无限循环子群。
群SL_2(Z)包含所有的矩阵{{1,m},{0,1}},{{1,0},{m,1}},{{m,m-1},{1,1}},m∈Z。
用有理数代替实数，我们就得到了Q上的n阶一般线性群GL_n(Q)及其子群SL_n(Q)，在群SL_n(Q)种包含一个有趣的子群SL_n(Z)，它由行列式为1的整数矩阵组成。
SL_n(Q)和SL_n(Z)在数论中占有重要的地位。
群D_nh是积D_n×I，这里I={1,t},t^2=1是2阶群C_2，它的阶是4n。
D_nh的不可约表示是D_n的不可约表示与I的不可约表示的张量积。
群I恰有2个不可约表示：2=1+1
它们的特征标g和u由下表给出：
1,t
g,1,1
u,1,-1
因此，D_nh的不可约表示的个数是D_n的不可约表示个数的2倍。
更确切地说，D_n的每一个不可约特征标χ如下确定D_nh的2个不可约特征标χ_g,χ_u：
x,tx
χ_g,χ(x),χ(x)
χ_u,χ(x),-χ(x)
(x∈D_n)
交错群A_4是有4个元素的集合{1,2,3,4}的一切偶置换所成的群；它同构于R^3中保持一个重心在原点的正四面体不变的旋转所成的群。
这个群含有12个元素：
单位元1={1,2,3,4}
3个2阶元素：2=(12)(34),3=(13)(24),4=(14)(23)，它们相当于正四面体经过两对边中点联线的反射。
8个3阶元素：5=(123),6=(132),7=(124),8=(142),9=(134),10=(143),11=(234),12=(243)，它们相当于绕联结一个顶点和对面重心的联线旋转±120°角的旋转。
令K={1,5,5*5},H={1,2,3,4}
A_4是子群K与正规子群H的半直积。
A_4中有4个共轭类：{1},{2,3,4},{5,5*2,5*3,5*4},{5*5,5*5*2,5*5*3,5*5*4},因而有4个不可约特征标。12=1+1+1+9
有3个1级特征标，它们相当于子群K的3个特征标χ_0,χ_1,χ_2到群A_4上的开拓，
最后1个特征标ψ是A_4在R^3内的自然表示（线性地开拓到C^3内）的特征标。于是我们有以下的关于A_4的特征标：
1,2,5,5*5
χ_0,1,1,1,1
χ_1,1,1,ω,ω^2
χ_2,1,1,ω^2,ω
ψ,3,-1,0,0
这里ω=e^(2*2pii/3)=1/2+isqrt(2)/2。
gap> -1/2+Sqrt(3)*E(4)/2;
E(3)
gap> -1/2+Sqrt(3)*E(4)/2=E(3);
true
gap> -1/2-Sqrt(3)*E(4)/2;
E(3)^2
gap>A4:=AlternatingGroup(4);;IdGroup(A4);L:=Irr(A4);List(L,DegreeOfCharacter);
[ 12, 3 ]
[ Character( CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 1,1, 1, 1] ), Character( CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ),
  [ 1, 1, E(3)^2, E(3) ] ), Character(CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ), [1, 1, E(3),E(3)^2 ] ),
  Character( CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 3, -1, 0, 0 ] ) ]
[ 1, 1, 1, 3 ]
gap>g:=AlternatingGroup(4);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT1

     2  2  2  .  .
     3  1  .  1  1

       1a 2a 3a 3b
    2P 1a 1a 3b 3a
    3P 1a 2a 1a 1a

X.1     1  1  1  1
X.2     1  1  A /A
X.3     1  1 /A  A
X.4     3 -1  .  .

A = E(3)^2
  = (-1-Sqrt(-3))/2 = -1-b3
7.7群的特征标
设G是一个群，K是一个域，G在K里的特征标就是从G到K的乘法群里的同态。
。对于特征标σ，τ，乘积στ定义为στ(x)= σ(x)τ(x)，它仍是特征标。G在K里的特征标关于此乘法构成一个Abel群G’，称为G在K里的特征标群。
线性无关定理：G在K里的不同特征标σ_1,…, σ_n总是线性无关的。
§9.群的表示与指标（特征标）
分析与古典代数的方法对群论的应用被称之为群表示论。
群的矩阵表示
群G的一个n阶表示是G到n阶非退化矩阵群里的一个同态映像。
群G的1阶表示是这样的对应：对于G的每一元素，对应着一个复数，而且，群的两个元素的乘积对应着与它们对应的复数的乘积。
如果G是有限群并且含有非单位元素，那么，除了不同阶数的单位表示之外，群G必然还有无限多个其他表示。
设已经知道群G的一个n阶表示g->A_g，则可得出无限多个其他表示。任取一个n阶非退化矩阵P，命B_g=P^-1A_gP，则g->B_g仍是群G的一个表示，因为A_gh=A_gA_h=>B_gh=B_gB_h。这样得出的表示叫做与已知表示等价的。
——群表示论中的表示等价转化为矩阵论中的矩阵等价
求新表示的另外方法是作表示的直接和，此方法可述之如下：
设g—>A_g,g—>B_g是群G的矩阵的某两个表示，相应的阶数分别为m与n。考虑对应
g—>{{A_g,O},{O,B_g}}
回忆矩阵的乘法规则，我们得到
gh—>{{A_gh,O},{O,B_gh}}={{A_gA_h,O},{O,B_gB_h}}={{A_g,O},{O,B_g}}{{A_h,O},{O,B_h}}
亦即上述映像仍是群G的一个表示。这个表示叫做已知的两个表示的和，而用符号A_g+B_g表之。如果交换被加项的位置，那
么我们得到另一个表示
g—>{{B_g,O},{O,A_g}}。
但是，这个表示是与原先得出的表示等价的。因此，如果对于等价的表示不加区别，那么，表示的加法是可换的运算。很容易
看出，表示的加法也是结合的运算。
设已经知道了群G的某些表示A_g，B_g，C_g，……，那么，利用表示的加法可以得出更高阶的表示：
A_g+B_g+C_g,A_g+A_g+A_g+A_g等等。
C_4={1,-1,i,-i}的1阶表示：1，-1，i，-i
其次，我们取1->1,-1>-1,i->-I,-i->i作为第2个表示。这两个表示的和是映像
1->{{1,0},{0,1}},-1->{{-1,0},{0,-1}},i->{{i,0},{0,i}},-i->{{-i,0},{0,i}}。
利用矩阵P={{1,i},{1,-i}}来变换这个表示，我们得到等价的表示
1->{{1,0},{0,1}},-1->{{-1,0},{0,-1}},i->{{0,1},{-1,0}},-i->{{0,-1},{1,0}}。
让我们很有兴趣地指出，这个表示的所有矩阵都是实矩阵。
【
gap> C4:=Group([[1]],[[-1]],[[E(4)]],[[-E(4)]]);IdGroup(C4);s:=Elements(C4);for si in sdo Print("ord:");Print(Order(si));Print(",Tr:");Print(TraceMat(si));Print(",中心化子:");Print(IdGroup(Centralizer(C4,si)));Print("\n");od;
Group([ [ [ 1 ] ], [ [ -1 ] ], [ [ E(4) ] ], [ [ -E(4) ] ] ])
[ 4, 1 ]
[ 4, 1 ]
[ [ [ -1 ] ], [ [ 1 ] ], [ [ -E(4) ] ], [ [ E(4) ] ] ]
ord:2,Tr:-1,中心化子:[ 4, 1 ]
ord:1,Tr:1,中心化子:[ 4, 1 ]
ord:4,Tr:-E(4),中心化子:[ 4, 1 ]
ord:4,Tr:E(4),中心化子:[ 4, 1 ]
gap> C4m2:=Group([[1,0],[0,1]],[[-1,0],[0,-1]],[[0,1],[-1,0]],[[0,-1],[1,0]]);IdGroup(C4m2);s:=Elements(C4m2);forsi in s do Print("ord:");Print(Order(si));Print(",Tr:");Print(TraceMat(si));Print(",中心化子:");Print(IdGroup(Centralizer(C4m2,si)));Print("\n");od;
Group([ [ [ 1, 0 ], [ 0, 1 ] ], [ [ -1, 0 ], [ 0, -1 ] ], [ [ 0, 1 ], [ -1, 0 ]], [ [ 0, -1 ], [ 1, 0 ] ] ])
[ 4, 1 ]
[ [ [ -1, 0 ], [ 0, -1 ] ], [ [ 0, -1 ], [ 1, 0 ] ], [ [ 0, 1 ], [ -1, 0 ] ], [[ 1, 0 ], [ 0, 1 ] ] ]
ord:2,Tr:-2,中心化子:[ 4, 1 ]
ord:4,Tr:0,中心化子:[ 4, 1 ]
ord:4,Tr:0,中心化子:[ 4, 1 ]
ord:1,Tr:2,中心化子:[ 4, 1 ]
gap>g:=CyclicGroup(4);;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 4, 1 ]
CT2

     2  2  2  2  2

       1a 4a 2a 4b

X.1     1  1  1  1
X.2     1 -1  1 -1
X.3     1  A -1 -A
X.4     1 -A -1  A

A = E(4)
  = Sqrt(-1) = i
gap> G:=GroupWithGenerators(Units(GaussianIntegers));;IdGroup(G);
[ 4, 1 ]
gap> G:=GroupWithGenerators(Units(Integers));;IdGroup(G);
[ 2, 1 ]
】
每一个与群G的阶梯表示等价的表示均称之可约的，与任何阶梯表示不等价的表示叫做不可约的。
与不可约表示的和等价的表示叫做完全可约的。
就精确到等价的意义来说，每一个有限群仅有一个正则表示。
让我们简短地叙述一下有限群表示论的一些基本定理。有限群的不同的（非等价的）不可约表示的个数是有限的，并且等于这个群的共轭元素类的个数。不可约表示的阶数必然是群的因数，而且正则表示等于所有不可约表示的和，其中每一个不可约表示重复出现的次数恰好等于其阶数。
由此可以得出，有限群的阶数n与不可约表示阶数n_1,n_2,…n_k之间的下面有趣的关系式：
n=∑[i=1->k](n_i)^2。n_1=1。
S_3有k=3个共轭元素类。
有限可换群可作为另外一个例子，这时每一个元素组成一个共轭元素类。因此，k=n，n_1=n_2=…=n_k=1，即这样群的所有不可约表示都是一阶的，而且不可约表示的个数等于群的阶数。
可换群的不可约表示也叫做群的指标。对于非可换群的每一表示，其指标是指组成这个表示的矩阵的迹（即矩阵对角元素的和）的集合。有限群的指标具有很好的性质和关系。群的表示和指标的研究以有兴趣的一般结果丰富了群论，并且这些结果在近代理论物理中找到了宽广的应用。
4.6群表示论
群论的一个基本工具是线性表示的观念。一个群G在一个域K上的向量空间V上的线性表示是G到V的自同构群GL(V)中的一个同态ρ:G->GL(V)。
在有限群的研究中，特别是散在单群的结构确认中，用电子计算机计算特征标等等是常见的。
线性表示不仅计算比较方便，而且最重要的是它保持群的结构，也就是对于g_1,g_2∈G，总有ρ(g_1)ρ(g_2)= ρ(g_1g_2)。
对每个有限群，求出所有的不可约表示是表示论的头等大事。一个线性表示ρ:G->GL(V)称为完全可约表示，如每个不变子空间U{<}V都有一个不变补空间W，使V=U(+)W。
酉表示是完全可约表示。有限群的实和复表示都是完全可约表示。
可以证明：只有有限多不可约表示，它的数目正好等于有限群G的共轭类的数目。
矩阵的迹Trρ(g)称为表示的特征标。
重要的是，有限群的不可约复表示完全由其特征标所决定。
这样一来，决定G的所有表示问题简化为找到G的所有不可约特征标的问题。为此弗罗贝尼乌斯等人在19世纪末解决如下的基本问题：
1.不可约（表示）特征标的刻画问题；
2.不可约特征标的关系
3.特征标分解定理
4.不同构的不可约表示的数目。
对于这些问题我们有如下的结果：
1.如果χ是一个不可约表示的特征标，则(χ|χ)=1。
2.如果χ与χ'是两个不同构的不可约表示的特征标，则(χ|χ')=0（正交关系）。
3.如果χ_1, χ_2, χ_h,是G的所有两两不同的不可约特征标，则G的每个表示的特征标φ，φ=∑[i=1->h]m_iχ_i，这里m_i=(φ|χ_i)是非负整数，(φ|φ)= ∑[i=1->h]m_i^2。
我们有一个一般的定理：
如果φ是G的一个表示的特征标，则(φ|φ)是一个正整数，且表示不可约当前仅当(φ|φ)=1。
设C(a)表示G中含有a的共轭类，g_a为C(a)中元素的数目，我们有下面的正交关系成立：
∑[a∈G]χ(a)χ(a^-1)=|G|，χ=χ_0；0，χ≠χ_0。
这是对G中所有元素求和的。另一个是对所有不同的不可约特征标来求和：
∑[χ]χ(a)χ(b^-1)=|G|/g_a，C(a)=C(b)；0，C(a)≠C(b)。
所有不同构的不可约表示的维数之间有如下关系：
(n_1)^2+(n_2)^2+……+(n_k)^2=g。
这个关系式足以决定一批不同构的不可约表示是否全部。另一个更困难的定理是每个n_i都整除g，这就大大降低了我们定出全部不可约特征标的难度。
例如，S_3共有6个元素，因此不可约表示的维数只可能是1和2，或者1+1+1+1+1+1=6或者1+1+4=6。前者显然不可能（不可能两两不同还都正交），因此，它只有3个不可约特征标，不难得出其特征标表：
1,t,e
χ_1,1,1,1
χ_2,1,-1,1
θ,2,0,-1
【
S_3={(1,2,3),(2,1,3),(1,3,2),(3,2,1),(3,1,2),(2,3,1)}
的2维不可约表示是
{{1,0},{0,1}},{{-1,1},{0,1}},{{1,0},{1,-1}},{{0,-1},{-1,0}},{{-1,1},{-1,0}},{{0,-1},{1,-1}}
其相应的特征标是2,0,0,0,-1,-1
gap>S3:=Group(PermList([1,2,3]),PermList([2,1,3]),PermList([1,3,2]),PermList([3,2,1]),PermList([3,1,2]),PermList([2,3,1]));IdGroup(S3);s:=Elements(S3);forsi in s do Print("ord:");Print(Order(si));Print(",中心化子:");Print(IdGroup(Central zer(S3,si)));Print("\n");od;
Group([ (), (1,2), (2,3), (1,3), (1,3,2), (1,2,3) ])
[ 6, 1 ]
[ (), (2,3), (1,2), (1,2,3), (1,3,2), (1,3) ]
ord:1,中心化子:[ 6, 1 ]
ord:2,中心化子:[ 2, 1 ]
ord:2,中心化子:[ 2, 1 ]
ord:3,中心化子:[ 3, 1 ]
ord:3,中心化子:[ 3, 1 ]
ord:2,中心化子:[ 2, 1 ]
gap> S3m2:= Group([[1,0],[0,1]],[[-1,1],[0,1]],[[1,0],[1,-1]],[[0,-1],[-1,0]],[[-1,1],[-1,0]],[[0,-1],[1,-1]]);IdGroup(S3m2);s:=Elements(S3m2);for si in s doPrint("ord:");Print(Order(si));Print(",Tr:");Print(TraceMat(si));Print(",中心化子:");Print(IdGroup(Centralizer(S3m2,si)));Print("\n");od;
Group([ [ [ 1, 0 ], [ 0, 1 ] ], [ [ -1, 1 ], [ 0, 1 ] ], [ [ 1, 0 ], [ 1, -1 ]], [ [ 0, -1 ], [ -1, 0 ] ],
  [ [ -1, 1 ], [ -1, 0 ] ], [ [ 0, -1 ], [ 1, -1 ] ] ])
[ 6, 1 ]
[ [ [ -1, 1 ], [ -1, 0 ] ], [ [ -1, 1 ], [ 0, 1 ] ], [ [ 0, -1 ], [ -1, 0 ] ],[ [ 0, -1 ], [ 1, -1 ] ],
  [ [ 1, 0 ], [ 0, 1 ] ], [ [ 1, 0 ], [ 1, -1 ] ] ]
ord:3,Tr:-1,中心化子:[ 3, 1 ]
ord:2,Tr:0,中心化子:[ 2, 1 ]
ord:2,Tr:0,中心化子:[ 2, 1 ]
ord:3,Tr:-1,中心化子:[ 3, 1 ]
ord:1,Tr:2,中心化子:[ 6, 1 ]
ord:2,Tr:0,中心化子:[ 2, 1 ]
】
同样可知S_4共有24个元素，共有5个共轭点，共5个不可约表示的维数分别为1,1,2,3,3,
1+1+4+9+9=24。
特征标表为
1,(ab),(ab)(cd),(abc),(abcd)
χ_0,1,1,1,1,1
ε,1-1,1,1,-1
θ,2,0,2,-1,0
ψ,3,1,-1,0,-1
εψ,3-1,-1,0,1
从S_3,S_4的特征标表可以看出，它们的特征标都是整数，实际上这也是对称群特征标的普遍性质。
1.诱导表示理论
这个方法是从G的子群H出发，而H的线性表示已经知道，然后考虑由H的表示所诱导的G的表示。对于有限群，布劳尔的基本定理就是G的所有特征标都是由G的初等子群所诱导的G的表示的特征标的整系数线性组合，而初等子群根据定义是一个循环子群和一个p-群的直积。

20140619工具9：生成偶数阶Abel群U(n)=(Z/nZ)^*的凯莱表的小工具UnMulTable.exe
gap> U11:=Units(Integers mod 11);;IdGroup(U11);
[ 10, 2 ]
请输入群A凯莱表文件名：U11.txt
G10ElementToOrder(0)=1
G10ElementToOrder(1)=10
G10ElementToOrder(2)=5
G10ElementToOrder(3)=5
G10ElementToOrder(4)=5
G10ElementToOrder(5)=10
G10ElementToOrder(6)=10
G10ElementToOrder(7)=10
G10ElementToOrder(8)=5
G10ElementToOrder(9)=2
C_10=U11有1个1阶元，1个2阶元，4个5阶元，4个10阶元
http://www.di-mgt.com/cgi-bin/dirichlet.cgi
Dirichlet characters modulo 11
k = 11, φ(k) = 10, (Z/kZ)* ? C_10, generator = 2
G={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, λ = 10, w^5 = -1, w = exp(πi/5)
X(n) mod 11 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X_1(n) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
X2(n) 1 w -w^3 w^2 w^4 -w^4 -w^2 w^3 -w -1
X3(n) 1 w2 -w w4 -w3 -w3 w4 -w w2 1
X4(n) 1 w3 w4 -w w2 -w2 w -w4 -w3 -1
X5(n) 1 w4 w2 -w3 -w -w -w3 w2 w4 1
X6(n) 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1
X7(n) 1 -w -w3 w2 w4 w4 w2 -w3 -w 1
X8(n) 1 -w2 -w w4 -w3 w3 -w4 w w2 -1
X9(n) 1 -w3 w4 -w w2 w2 -w w4 -w3 1
X10(n) 1 -w4 w2 -w3 -w w w3 -w2 w4 -1
X(n) mod 11
---------------------------------------------------------
n         1   2    3    4    5   6    7    8    9  10
---------------------------------------------------------
X_1(n)    1    1   1    1    1    1   1    1    1    1
X_2(n)    1    w -w^3  w^2  w^4 -w^4-w^2  w^3   -w   -1
X_3(n)    1  w^2   -w  w^4 -w^3 -w^3 w^4   -w  w^2    1
X_4(n)    1  w^3  w^4   -w  w^2-w^2    w -w^4 -w^3   -1
X_5(n)    1  w^4  w^2 -w^3   -w  -w -w^3  w^2  w^4    1
X_6(n)    1   -1    1   1    1   -1   -1  -1    1   -1
X_7(n)    1   -w -w^3  w^2  w^4 w^4  w^2 -w^3   -w    1
X_8(n)    1 -w^2   -w  w^4 -w^3  w^3-w^4    w  w^2   -1
X_9(n)    1 -w^3  w^4   -w  w^2 w^2   -w  w^4 -w^3    1
X_10(n)   1 -w^4  w^2 -w^3   -w   w  w^3 -w^2  w^4   -1
---------------------------------------------------------
计算模11的Dirichlet特征
∵ φ(11) = 10∴共有10种两两不同的特征。
2^1 = 2 (mod 11) 2^2 = 4 (mod 11) 2^3 = 8 (mod 11) 2^4 = 5 (mod 11) 2^5 = 10(mod 11) 
2^6 = 9 (mod 11) 2^7 = 7 (mod 11) 2^8 = 3 (mod 11) 2^9 = 6 (mod 11) 2^10 = 1 (mod11)
∵ 2^φ(11) = 1 (mod 10)∴ 2是模11的最小素数原根, g = 2。
∵ χ(g;α) =Exp(2πi/φ(p)×α), Exp(2πi/φ(p))是单位根ω。
∴ χ(2;0) = Exp(2πi/10×0)= Exp(0) = 1 = χ1(2);
   χ(2;1) = Exp(2πi/10×1) = Exp(πi/5) = ω;
   χ(2;2) = Exp(2πi/10×2) = Exp(2πi/5) = ω^2;
   χ(2;3) = Exp(2πi/10×3) = Exp(3πi/5) = ω^3;
   χ(2;4) = Exp(2πi/10×4) = Exp(4πi/5) = ω^4;
   χ(2;5) = Exp(2πi/10×5) = Exp(5πi/5) = -1;
   χ(2;6) = Exp(2πi/10×6) = Exp(6πi/5) = Exp(6πi/5-2πi) = Exp(-4πi/5)= -ω^4;
   χ(2;7) = Exp(2πi/10×7) = Exp(7πi/5) = Exp(7πi/5-2πi) = Exp(-3πi/5)= -ω^3;
   χ(2;8) = Exp(2πi/10×8) = Exp(8πi/5) = Exp(8πi/5-2πi) = Exp(-2πi/5)= -ω^2;
   χ(2;9) = Exp(2πi/10×9) = Exp(9πi/5) = Exp(9πi/5-2πi) = Exp(-πi/5)= -ω = χ10(2);
∵ χ(4) = χ(2) × χ(2) (mod 11 )
∴ χ(4;0) = (χ(2;1))^2 = 1= χ1(4);
   χ(4;1) = (χ(2;1))^2 = ω^2;
   χ(4;2) = (χ(2;2))^2 = ω^4;
   χ(4;3) = (χ(2;3))^2 = (Exp(3πi/5))^2 = Exp(6πi/5) = -ω^4;
   χ(4;4) = (χ(2;4))^2 = (Exp(4πi/5))^2 = Exp(8πi/5) = -ω^2;
   χ(4;5) = (χ(2;5))^2 = (-1)^2 = 1;
   χ(4;6) = (χ(2;6))^2 = (Exp(6πi/5))^2; = Exp(12πi/5) = ω^2;
   χ(4;7) = (χ(2;7))^2 = (Exp(7πi/5))^2; = Exp(14πi/5) = ω^4;
   χ(4;8) = (χ(2;8))^2 = (Exp(8πi/5))^2; = Exp(16πi/5) = -ω^4;
   χ(4;9) = (χ(2;9))^2 = (Exp(9πi/5))^2; = Exp(18πi/5) = -ω^2 =χ10(4);
依次类推，可以计算剩余的χ(n)
χ(5) = χ(4) × χ(4) ( mod 11 ), χ(3) = χ(5) × χ(5) ( mod 11 )
χ(9) = χ(3) × χ(3) ( mod 11 ), χ(8) = χ(2) × χ(4) ( mod 11 )
χ(10)= χ(2) × χ(5) ( mod 11 ), χ(6) = χ(2) × χ(3) ( mod 11 )
χ(7) = χ(2) × χ(9) ( mod 11 ), χ(1) = χ(2) × χ(6) ( mod 11 )
最终可得
 n = ?  0  1  [2]   3    [4]  ... 9     10
 χ1(n)  0  1  1    1     1    ... 1    1
 χ2(n)  0  1  ω     -ω^2 ω^2  ... -ω^4  -1
 χ3(n)  0  1  ω^2   -ω^4  ω^4  ...ω^2   1
 χ4(n)  0  1  ω^3   ω^4   -ω^4 ...-ω^2  -1
 χ5(n)  0  1  ω^4   ω^2   -ω^2 ... ω^4  1
 χ6(n)  0  1  -1   1     1    ... 1    -1
 χ7(n)  0  1  -ω^4  -ω^2  ω^2  ...-ω^4  1
 χ8(n)  0  1  -ω^3  -ω^4  ω^4  ...ω^2   -1
 χ9(n)  0  1  -ω^2  ω^4   -ω^4 ...-ω^2  1
χ10(n)  0  1  -ω    ω^2   -ω^2 ...ω^4   -1
可使用如下命令计算Dirichlet特征：
Table[DirichletCharacter[11, j, n], {j, 1, EulerPhi[11]}, {n, 0, 10}] // Grid
C_10的特征标表：
(1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0)
(1,0) (0.809017,0.587785) (0.309017,0.951057) (-0.309017,0.951057)(-0.809017,0.587785) (-1,0) (-0.809017,-0.587785) (-0.309017,-0.951057)(0.309017,-0.951057) (0.809017,-0.587785)
(1,0) (0.309017,0.951057) (-0.809017,0.587785) (-0.809017,-0.587785)(0.309017,-0.951057) (1,-5.55112e-017) (0.309017,0.951057) (-0.809017,0.587785)(-0.809017,-0.587785) (0.309017,-0.951057)
(1,0) (-0.309017,0.951057) (-0.809017,-0.587785) (0.809017,-0.587785)(0.309017,0.951057) (-1,1.66533e-016) (0.309017,-0.951057) (0.809017,0.587785)(-0.809017,0.587785) (-0.309017,-0.951057)
(1,0) (-0.809017,0.587785) (0.309017,-0.951057) (0.309017,0.951057)(-0.809017,-0.587785) (1,-5.55112e-017) (-0.809017,0.587785)(0.309017,-0.951057) (0.309017,0.951057) (-0.809017,-0.587785)
(1,0) (-1,0) (1,-5.55112e-017) (-1,1.66533e-016) (1,-5.55112e-017)(-1,1.66533e-016) (1,-1.11022e-016) (-1,1.11022e-016) (1,-1.11022e-016)(-1,1.11022e-016)
(1,0) (-0.809017,-0.587785) (0.309017,0.951057) (0.309017,-0.951057)(-0.809017,0.587785) (1,-1.11022e-016) (-0.809017,-0.587785)(0.309017,0.951057) (0.309017,-0.951057) (-0.809017,0.587785)
(1,0) (-0.309017,-0.951057) (-0.809017,0.587785) (0.809017,0.587785)(0.309017,-0.951057) (-1,1.11022e-016) (0.309017,0.951057) (0.809017,-0.587785)(-0.809017,-0.587785) (-0.309017,0.951057)
(1,0) (0.309017,-0.951057) (-0.809017,-0.587785) (-0.809017,0.587785)(0.309017,0.951057) (1,-1.11022e-016) (0.309017,-0.951057)(-0.809017,-0.587785) (-0.809017,0.587785) (0.309017,0.951057)
(1,0) (0.809017,-0.587785) (0.309017,-0.951057) (-0.309017,-0.951057)(-0.809017,-0.587785) (-1,1.11022e-016) (-0.809017,0.587785)(-0.309017,0.951057) (0.309017,0.951057) (0.809017,0.587785)
gap>g:=CyclicGroup(10);;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 10, 2 ]
CT5

      2  1   1  1  1  1  1  1   1  1   1
      5  1   1  1  1  1  1  1   1  1   1

        1a 10a 5a 10b 5b 2a 5c 10c 5d10d

X.1      1   1  1  1  1  1  1   1  1   1
X.2      1  -1  1  -1  1 -1 1  -1  1  -1
X.3      1   A  B  /B /A 1  A   B /B  /A
X.4      1  -A  B -/B /A -1  A  -B/B -/A
X.5      1   B /A   A /B 1  B  /A  A  /B
X.6      1  -B /A  -A /B -1  B-/A  A -/B
X.7      1  /B  A  /A  B  1/B   A /A   B
X.8      1 -/B  A -/A  B -1 /B  -A/A  -B
X.9      1  /A /B   B  A  1/A  /B  B   A
X.10     1 -/A /B  -B  A -1 /A -/B  B -A

A = E(5)^3
B = E(5)
G8ElementToOrder(0)=1
G8ElementToOrder(1)=4
G8ElementToOrder(2)=4
G8ElementToOrder(3)=2
G8ElementToOrder(4)=2
G8ElementToOrder(5)=4
G8ElementToOrder(6)=4
G8ElementToOrder(7)=2
GAP[8,2]=C_2×C_4=U20有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，0个8阶元
gap> U20:=Units(Integers mod20);;IdGroup(U20);g:=U20;;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 8, 2 ]
CT6

     2  3  3  3  3  3 3  3  3

       1a 4a 4b 2a 2b 4c 4d 2c

X.1     1  1  1  1  1 1  1  1
X.2     1 -1 -1  1  1 -1 -1  1
X.3     1 -1 -1  1 -1  1  1 -1
X.4     1  1  1  1 -1 -1 -1 -1
X.5     1  A -A -1  1  A -A -1
X.6     1 -A  A -1  1 -A  A -1
X.7     1 -A  A -1 -1  A -A  1
X.8     1  A -A -1 -1 -A  A  1

A = -E(4)
  = -Sqrt(-1) = -i
模20的狄利克雷特征
http://www.di-mgt.com.au/cgi-bin/dirichlet.cgi?k=20&submit=+Go+
Dirichlet characters modulo 20
k = 20, φ(k) = 8, (Z/kZ)* ? C4 x C2, generators = 3,19
G={1,3,7,9,11,13,17,19}, λ = 4, w2 = -1, w = exp(πi/2)
X(n) mod 20 n 1 3 7 9 11 13 17 19
X1(n) 1 1 1 1 1 1 1 1
X2(n) 1 i -i -1 -1 -i i 1
X3(n) 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
X4(n) 1 -i i -1 -1 i -i 1
X5(n) 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1
X6(n) 1 i -i -1 1 i -i -1
X7(n) 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1
X8(n) 1 -i i -1 1 -i i -1
X(n) mod 20
------------------------------
n       1  3  7  9 11 13 1719
------------------------------
X_1(n)  1  1  1  1  1  1  1  1
X_2(n)  1  i -i -1 -1 -i  i  1
X_3(n)  1 -1 -1  1  1 -1 -1  1
X_4(n)  1 -i  i -1 -1  i -i  1
X_5(n)  1  1  1  1 -1 -1 -1 -1
X_6(n)  1  i -i -1  1  i -i -1
X_7(n)  1 -1 -1  1 -1  1  1 -1
X_8(n)  1 -i  i -1  1 -i  i -1
------------------------------?
GAP4[16,5]=G16_3=C_2×C_8=U32有1个1阶元，3个2阶元，4个4阶元，8个8阶元，0个16阶元
GAP4[16,10]=G16_4=C_2×C_2×C_4=U40=U48有1个1阶元，7个2阶元，8个4阶元，0个8阶元，0个16阶元
16阶非循环阿贝尔群：K_4×C_4=U40=U48≠GAP4[16,14]=K_4×K_4≠C_8×C_2=U32≠GAP4[16,2]=C_4×C_4
gap> G:=DirectProduct(CyclicGroup(2),CyclicGroup(8));;IdGroup(G);
[ 16, 5 ]
gap>G:=DirectProduct(CyclicGroup(2),CyclicGroup(2),CyclicGroup(4));;IdGroup(G);
[ 16, 10 ]
gap>G:=DirectProduct(CyclicGroup(2),CyclicGroup(2),CyclicGroup(2),CyclicGroup(2));;IdGroup(G);
[ 16, 14 ]
gap> G:=DirectProduct(CyclicGroup(4),CyclicGroup(4));;IdGroup(G);
[ 16, 2 ]
12阶群有5个：GAP4[ 12, 5 ]=Z_2+Z_2+Z_3=K_4+Z_3=C_3×K_4=C_2×C_6=C_2×C_2×C_3，GAP4[ 12, 2 ]=Z_12=Z_4+Z_3，GAP4[ 12, 4 ]=D_6=D_3×C_2=D_12，GAP4[ 12, 3 ]=A_4，GAP4[ 12, 1 ]=T=Q_12
GAP4[12,5]=C2C2C3=U21=U28有1个1阶元，3个2阶元，2个3阶元，0个4阶元，6个6阶元，0个12阶元
gap> U21:=Units(Integers mod 21);;IdGroup(U21);
[ 12, 5 ]
gap> U28:=Units(Integers mod 28);;IdGroup(U28);
[ 12, 5 ]
某网友问题：根据12阶群的凯莱表求特征标表，并根据特征标表判断是哪一种12阶群。
首先确定有四个类，{E}、{LMN}、{ACFJ}和{BDIK}，所以有四个不可约表示。又因为阶数为12，只可能12=1^2+1^2+1^2+3^2，故有3个一维不可约表示和一个三维不可约表示。然后根据两个特征标的正交性定理，可以解得：
E         LMN         ACFJ           BDIK
 1           1             1               1
 1           1       exp(-i2pi/3)   exp(i2pi/3)
 1           1       exp(i2pi/3)   exp(-i2pi/3)
 3          -1             0               0
然后根据下列定理可知，该群为12阶群A_4。
20151018补充：定理：5种12阶群与它们的特征标表一一对应
gap>g:=SmallGroup(12,1);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT2

     2  2  2  2 1  2  1
     3  1  .  1  1  .  1

       1a 4a 2a 3a 4b 6a
    2P 1a 2a 1a 3a 2a 3a
    3P 1a 4b 2a 1a 4a 2a
    5P 1a 4a 2a 3a 4b 6a

X.1     1  1  1 1  1  1
X.2     1 -1  1  1 -1  1
X.3     1  A -1  1 -A -1
X.4     1 -A -1  1  A -1
X.5     2  . -2 -1  .  1
X.6     2  .  2 -1  . -1

A = -E(4)
  = -Sqrt(-1) = -i
gap>g:=SmallGroup(12,2);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT3

      2  2  2 2  2   2  2  2   2   2  2   2   2
      3  1  1  1  1  1  1  1   1   1   1  1   1

        1a 4a 3a 2a12a 4b 3b  6a 12b 12c  6b 12d
     2P 1a 2a 3b 1a  6b 2a 3a  3b  6a 6b  3a  6a
     3P 1a 4b 1a 2a  4b 4a 1a  2a  4b 4a  2a  4a
     5P 1a 4a 3b 2a 12b 4b 3a  6b 12a 12d  6a 12c
     7P 1a 4b 3a 2a 12c 4a 3b  6a 12d 12a  6b 12b
    11P 1a 4b 3b 2a 12d 4a 3a  6b 12c 12b  6a 12a

X.1      1  1  1 1   1  1  1   1   1  1   1   1
X.2      1 -1  1  1  -1 -1 1   1  -1  -1   1  -1
X.3      1 -1  B  1  -B -1/B   B -/B  -B  /B -/B
X.4      1 -1 /B  1 -/B -1  B  /B -B -/B   B  -B
X.5      1  1  B  1   B 1 /B   B  /B   B  /B  /B
X.6      1  1 /B  1  /B  1 B  /B   B  /B   B   B
X.7      1  A  1 -1   A -A 1  -1   A  -A  -1  -A
X.8      1 -A  1 -1  -A  A 1  -1  -A   A  -1   A
X.9      1  A  B -1   C -A/B  -B -/C  -C -/B  /C
X.10     1  A /B -1 -/C -A  B -/B  C  /C  -B  -C
X.11     1 -A  B -1  -C  A /B  -B /C   C -/B -/C
X.12     1 -A /B -1  /C  A  B -/B  -C-/C  -B   C

A = -E(4)
  = -Sqrt(-1) = -i
B = E(3)^2
  = (-1-Sqrt(-3))/2 = -1-b3
C = -E(12)^11
gap>g:=SmallGroup(12,3);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT4

     2  2  .  2 .
     3  1  1  .  1

       1a 3a 2a 3b
    2P 1a 3b 1a 3a
    3P 1a 1a 2a 1a

X.1     1  1  1  1
X.2     1  A  1 /A
X.3     1 /A  1  A
X.4     3  . -1  .

A = E(3)^2
  = (-1-Sqrt(-3))/2 = -1-b3
gap>g:=SmallGroup(12,4);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT5

     2  2  2  2 1  2  1
     3  1  .  1  1  .  1

       1a 2a 2b 3a 2c 6a
    2P 1a 1a 1a 3a 1a 3a
    3P 1a 2a 2b 1a 2c 2b
    5P 1a 2a 2b 3a 2c 6a

X.1     1  1  1 1  1  1
X.2     1 -1 -1  1  1 -1
X.3     1 -1  1  1 -1  1
X.4     1  1 -1  1 -1 -1
X.5     2  . -2 -1  .  1
X.6     2  .  2 -1  . -1
gap>g:=SmallGroup(12,5);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT6

      2  2  2 2  2  2   2   2  2   2  2   2   2
      3  1  1  1  1 1   1   1  1   1   1  1   1

        1a 2a 2b 3a2c  6a  6b 3b  6c  6d  6e  6f
     2P 1a 1a 1a 3b 1a  3b  3b 3a  3b 3a  3a  3a
     3P 1a 2a 2b 1a 2c  2a  2b 1a  2c 2a  2b  2c
     5P 1a 2a 2b 3b 2c  6d  6e 3a  6f 6a  6b  6c

X.1      1  1  1 1  1   1   1  1   1  1   1   1
X.2      1 -1 -1  1  1  -1 -1  1   1  -1  -1   1
X.3      1 -1  1  1 -1  -1  1  1  -1  -1   1  -1
X.4      1  1 -1  1 -1   1 -1  1  -1   1  -1  -1
X.5      1 -1 -1  A  1  -A  -A/A   A -/A -/A  /A
X.6      1 -1 -1 /A  1 -/A -/A  A /A  -A  -A   A
X.7      1 -1  1  A -1  -A  A /A  -A -/A  /A -/A
X.8      1 -1  1 /A -1 -/A  /A  A-/A  -A   A  -A
X.9      1  1 -1  A -1   A -A /A  -A  /A -/A -/A
X.10     1  1 -1 /A -1  /A -/A  A-/A   A  -A  -A
X.11     1  1  1  A  1  A   A /A   A  /A  /A  /A
X.12     1  1  1 /A  1  /A /A  A  /A   A   A   A

A = E(3)^2
  = (-1-Sqrt(-3))/2 = -1-b3
----24阶交换群GAP4[24,15]=C_6×K_4=U84群元的阶----
//1个1阶元，7个2阶元，2个3阶元，14个6阶元
----24阶交换群GAP4[24,9]=C_6×C_4=U35=U39群元的阶----
//1个1阶元，3个2阶元，2个3阶元，4个4阶元，6个6阶元，8个12阶元
gap> U84:=Units(Integers mod 84);;IdGroup(U84);
[ 24, 15 ]
gap> U39:=Units(Integers mod 39);;IdGroup(U39);
[ 24, 9 ]
gap> U35:=Units(Integers mod 35);;IdGroup(U35);
[ 24, 9 ]
1-10阶群的不等价不可约的特征标表示
http://www.docin.com/p-61145443.html
定理：2种4阶群与它们的特征标表一一对应；3种8阶Abel群与它们的特征表一一对应。
C_2×C_2=D_2=V_4
1,1,1,1
1,1,-1,-1
1,-1,1,-1
1,-1,-1,1
gap>g:=DirectProduct(CyclicGroup(2),CyclicGroup(2));;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 4, 2 ]
CT1

     2  2  2  2 2

       1a 2a 2b 2c

X.1     1  1  1  1
X.2     1 -1  1 -1
X.3     1  1 -1 -1
X.4     1 -1 -1  1
D_3
1,1,1
1,1,-1
2,-1,0
D_4
1,1,1,1,1
1,1,1,-1,-1
1,-1,1,1,-1
1,-1,1,-1,1
2,0,-2,0,0
D_5
p=2cos(2pi/5)=(sqrt(5)-1)/2
p^(-1)=-2cos(4pi/5)=(sqrt(5)+1)/2
1,1,1,1
1,1,1,-1
2,p,-p^(-1),0
2,-p^(-1),p,0
Q_8
1,1,1,1,1
1,1,1,-1,-1
1,-1,1,1,-1
1,-1,1,-1,1
2,0,-2,0,0
gap> G:=Units(GF(16));;IdGroup(G);
[ 15, 1 ]
gap> U16:=Units(Integers mod 16);;IdGroup(U16);
[ 8, 2 ]
U16=C_2×C_4
gap>g:=DirectProduct(CyclicGroup(2),CyclicGroup(4));;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 8, 2 ]
CT8

     2  3  3  3  3  3 3  3  3

       1a 2a 4a 2b 4b 2c 4c4d

X.1     1  1  1  1  1 1  1  1
X.2     1 -1  1  1 -1 -1  1 -1
X.3     1  1 -1  1 -1  1 -1 -1
X.4     1 -1 -1  1  1 -1 -1  1
X.5     1  1  A -1  A -1 -A -A
X.6     1 -1  A -1 -A  1 -A  A
X.7     1  1 -A -1 -A -1  A  A
X.8     1 -1 -A -1  A  1  A -A

A = E(4)
  = Sqrt(-1) = i
C_2×C_2×C_2
gap>g:=DirectProduct(CyclicGroup(2),CyclicGroup(2),CyclicGroup(2));;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 8, 5 ]
CT9

     2  3  3  3  3  3 3  3  3

       1a 2a 2b 2c 2d 2e 2f2g

X.1     1  1  1  1  1 1  1  1
X.2     1 -1  1  1 -1 -1  1 -1
X.3     1  1 -1  1 -1  1 -1 -1
X.4     1 -1 -1  1  1 -1 -1  1
X.5     1  1  1 -1  1 -1 -1 -1
X.6     1 -1  1 -1 -1  1 -1  1
X.7     1  1 -1 -1 -1 -1  1  1
X.8     1 -1 -1 -1  1  1  1 -1
gap>g:=CyclicGroup(8);;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl);                                         [ 8, 1 ]
CT10

     2  3   3  3 3   3   3  3   3

       1a  8a 4a 2a  8b  8c4b  8d

X.1     1   1  1  1  1   1  1   1
X.2     1  -1  1  1  -1  -1 1  -1
X.3     1   A -1  1  -A   A-1  -A
X.4     1  -A -1  1   A  -A-1   A
X.5     1   B  A -1 -/B  -B -A  /B
X.6     1  -B  A -1  /B   B -A -/B
X.7     1 -/B -A -1   B  /B  A  -B
X.8     1  /B -A -1  -B -/B  A   B

A = E(4)
  = Sqrt(-1) = i
B = E(8)
C_3×C_3
由八阶非交换群D_4和Q_8的特征标表说明不同构的群，可以有相同的特征标表，因此，特征标表所提供的关于群结构的信息是不完全的，但是它还能说明很多问题，
譬如：可由群的特征标表读出有限群结构的某些信息，例如特征标的核、群的正规子群、群是否是单群、群的商群的特征标表、群的可解性、幂零性等。因此，特征表理论是群表示论的最有力的工具之一。
//C++程序输出循环群C_3的特征标表
(1,0) (1,0) (1,0)
(1,0) (-0.5,0.866025) (-0.5,-0.866025)
(1,0) (-0.5,-0.866025) (-0.5,0.866025)
#include "stdafx.h"
#include<iostream>
#include<complex>
#include<vector>
using namespace std;
void PrintCharacterTable(constvector<vector<complex<double>>> &vv)
{
 vector<complex<double>>::const_iterator vi;
 vector<vector<complex<double>>>::const_iterator vvi;
 for(vvi=vv.begin(); vvi!=vv.end(); vvi++)
 {
  for(vi=(*vvi).begin(); vi!=(*vvi).end(); vi++)
  {
   cout << (*vi)<<" ";
  }
  cout << endl;
 }
 return;
}
int main()
{
 int n=3;
 const double pi=atan2((double)0,-1);
 complex<double>  Wn=exp(complex<double>(0,2*pi/n));
 vector<vector<complex<double>>> vv(n);
 vector<complex<double>> v(n);
#if 1
 //(1,0)
 //(1,0) (1,0)
 //(1,0) (-1,1.22465e-016)
 //(1,0) (1,0) (1,0)
 //(1,0) (-0.5,0.866025) (-0.5,-0.866025)
 //(1,0) (-0.5,-0.866025) (-0.5,0.866025)
 //(1,0) (1,0) (1,0) (1,0)
 //(1,0) (6.12323e-017,1) (-1,1.22465e-016) (-1.83697e-016,-1)
 //(1,0) (-1,1.22465e-016) (1,-2.44929e-016) (-1,3.67394e-016)
 //(1,0) (-1.83697e-016,-1) (-1,3.67394e-016) (5.51091e-016,1)
 //(1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0)
 //(1,0) (0.309017,0.951057) (-0.809017,0.587785) (-0.809017,-0.587785)(0.309017,-0.951057)
 //(1,0) (-0.809017,0.587785) (0.309017,-0.951057) (0.309017,0.951057)(-0.809017,-0.587785)
    //(1,0) (-0.809017,-0.587785) (0.309017,0.951057)(0.309017,-0.951057) (-0.809017,0.587785)
 //(1,0) (0.309017,-0.951057) (-0.809017,-0.587785) (-0.809017,0.587785)(0.309017,0.951057)
 //(1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0) (1,0)
 //(1,0) (0.5,0.866025) (-0.5,0.866025) (-1,3.88578e-016) (-0.5,-0.866025)(0.5,-0.866025)
 //(1,0) (-0.5,0.866025) (-0.5,-0.866025) (1,-8.32667e-016)(-0.5,0.866025) (-0.5,-0.866025)
    //(1,0) (-1,3.88578e-016) (1,-8.32667e-016)(-1,1.33227e-015) (1,-1.77636e-015) (-1,2.16493e-015)
 //(1,0) (-0.5,-0.866025) (-0.5,0.866025) (1,-1.77636e-015)(-0.5,-0.866025) (-0.5,0.866025)
 //(1,0) (0.5,-0.866025) (-0.5,-0.866025) (-1,2.16493e-015)(-0.5,0.866025) (0.5,0.866025)
 for(int i=0;i<n;i++)
 {
  for(int j=0;j<n;j++)
  {
   v[j]=pow(Wn,i*j);
  }
        vv[i]=v;
 }
#endif
#if 0
 //(1,0) (1,0) (1,0)
 //(1,0) (-0.5,0.866025) (-0.5,-0.866025)
 //(1,0) (-0.5,-0.866025) (-0.5,0.866025)
 // 1维平凡表示χ_0
 for(int i=0;i<n;i++)
 {
  v[i]=complex<double>(1,0);
 }
 vv[0]=v;
 // 1维忠实表示χ_1
 for(int i=0;i<n;i++)
 {
  v[i]=pow(Wn,i);
 }
 vv[1]=v;
 // 1维忠实表示χ_2=χ_1·χ_1
 for(int i=0;i<n;i++)
 {
  v[i]=v[i]*v[i];
 }
 vv[2]=v;
#endif
 PrintCharacterTable(vv);
  system("pause");
 return 0;
}
gap>g:=CyclicGroup(3);;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 3, 1 ]
CT3

     3  1  1  1

       1a 3a 3b

X.1     1  1  1
X.2     1  A /A
X.3     1 /A  A

A = E(3)
  = (-1+Sqrt(-3))/2 = b3
gap> g:=CyclicGroup(6);;IdGroup(g);cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:=CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ 6, 2 ]
CT4

     2  1   1  1  1 1   1
     3  1   1  1  1 1   1

       1a  6a 3a 2a 3b  6b

X.1     1   1  1  1 1   1
X.2     1  -1  1 -1  1  -1
X.3     1   A /A  1  A  /A
X.4     1  -A /A -1  A -/A
X.5     1  /A  A  1 /A   A
X.6     1 -/A  A -1 /A  -A

A = E(3)^2
  = (-1-Sqrt(-3))/2 = -1-b3
数论中的偶数阶Abel群的阶
totient(2)=1
totient(3)=2
totient(4)=2
totient(5)=4
totient(6)=2
totient(7)=6
totient(8)=4
totient(9)=6
totient(10)=4
totient(11)=10
totient(12)=4
totient(13)=12
totient(14)=6
totient(15)=8
totient(16)=8
totient(17)=16
totient(18)=6
totient(19)=18
totient(20)=8
totient(21)=12
totient(22)=10
totient(23)=22
totient(24)=8
totient(25)=20
totient(26)=12
totient(27)=18
totient(28)=12
totient(29)=28
totient(30)=8
totient(31)=30
totient(32)=16
totient(33)=20
totient(34)=16
totient(35)=24
totient(36)=12
totient(37)=36
totient(38)=18
totient(39)=24
totient(40)=16
totient(41)=40
totient(42)=12
totient(43)=42
totient(44)=20
totient(45)=24
totient(46)=22
totient(47)=46
totient(48)=16
totient(49)=42
totient(50)=20
totient(51)=32
totient(52)=24
totient(53)=52
totient(54)=18
totient(55)=40
totient(56)=24
totient(57)=36
totient(58)=28
totient(59)=58
totient(60)=16
totient(61)=60
totient(62)=30
totient(63)=36
totient(64)=32
totient(65)=48
totient(66)=20
totient(67)=66
totient(68)=32
totient(69)=44
totient(70)=24
totient(71)=70
totient(72)=24
totient(73)=72
totient(74)=36
totient(75)=40
totient(76)=36
totient(77)=60
totient(78)=24
totient(79)=78
totient(80)=32
totient(81)=54
totient(82)=40
totient(83)=82
totient(84)=24
totient(85)=64
totient(86)=42
totient(87)=56
totient(88)=40
totient(89)=88
totient(90)=24
totient(91)=72
totient(92)=44
totient(93)=60
totient(94)=46
totient(95)=72
totient(96)=32
totient(97)=96
totient(98)=42
totient(99)=60
//C++程序输出Abel群U(n)=(Z/nZ)^*的凯莱表
1 2 3 4
2 1 4 3
3 4 1 2
4 3 2 1
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 5 8 1 4 6 7
3 5 1 7 2 8 4 6
4 8 7 3 6 2 1 5
5 1 2 6 3 7 8 4
6 4 8 2 7 1 5 3
7 6 4 1 8 5 3 2
8 7 6 5 4 3 2 1
#include <vector>
#include <iostream>
using namespace std;
// a helper function not currently being used (although it’s handy,
// for instance, in checking the order of a power of a character).
// harnesses the euclidean algorithm to return the gcd of two numbers.
//利用欧几里得算法计算两个数的最大公约数
int gcd(int a, int b)
{
 //int temp;
 if(b == 0) return a;
 if(a == 0) return b;
 if(a%b == 0) return b;
 else return gcd(b, a%b);
}
vector<int> totient(int num)
{
 vector<int> ret;
 if(num==1)
 {
  vector<int> ret1(1);
  ret1[0]=1;
  return ret1;
 }
 for(int i=1;i<=num-1;i++)
 {
  if(gcd(num,i)==1)
  {
   ret.push_back(i);
  }
 }
 return ret;
}
 
vector<vector<int>> UnMulTable(int n,const vector<int> &v)
{
 vector<vector<int>> ret(v.size());
 for(int i=0;i<v.size();i++)
 {
  vector<int> I(v.size());
  for(int j=0;j<v.size();j++)
  {
   int ij=(v[i]*v[j])%n;
   int index=-1;
   for(int k=0;k<v.size();k++)
   {
    if(v[k]==ij)
    {
     index=k;
     break;
    }
   }
   I[j]=index+1;
  }
  ret[i]=I;
 }
 return ret;
}
void PrintUnMulTable(const vector<vector<int>> &vv)
{
 vector<int>::const_iterator vi;
 vector<vector<int>>::const_iterator vvi;
 for(vvi=vv.begin(); vvi!=vv.end(); vvi++)
 {
  for(vi=(*vvi).begin(); vi!=(*vvi).end(); vi++)
  {
   cout << (*vi)<<" ";
  }
  cout << endl;
 }
 return;
}
int main()
{
 //for(int i=1;i<=100;i++)
 // printf("totient(%d)=%d\n",i,totient(i).size());
 //U(8) ={[1]_8,[3]_8,[5]_8,[7]_8}=K_4≠C_4，<=>8没有原根
 gap> U8:=Units(Integers mod 8);;IdGroup(U8);
[ 4, 2 ]
gap> G:=Units(GF(8));;IdGroup(G);
[ 7, 1 ]
//U(15)=U(3)×U(5)=C_2×C_4，<=>15没有原根
 gap> U15:=Units(Integers mod 15);;IdGroup(U15);
[ 8, 2 ]
vector<vector<int>> U8=UnMulTable(8,totient(8));
 vector<vector<int>> U15=UnMulTable(15,totient(15));
 PrintUnMulTable(U8);
 PrintUnMulTable(U15);
 system("pause");
 return 0;
}

 

gap> m:=[[E(4),1],[1,E(4)]];DeterminantMat(m);
[ [ E(4), 1 ], [ 1, E(4) ] ]
-2
gap> m^-1;
[ [ -1/2*E(4), 1/2 ], [ 1/2, -1/2*E(4) ] ]
gap> DeterminantMat(m^-1);
-1/2
gap> m1:=TransposedMat(m);
[ [ E(4), 1 ], [ 1, E(4) ] ]

定理：有限群不等价不可约表示维数平方和等于群的阶数∑[j](m_j)^2=g
gap> g:=SymmetricGroup(4);;cl:=ConjugacyClasses(g);
[ ()^G, (1,2)^G, (1,2)(3,4)^G, (1,2,3)^G, (1,2,3,4)^G ]
gap> L1:=List(cl,Representative);L2:=List(cl,Centralizer);L3:=List(L2,IdGroup);L4:=List(cl,Size);
[ (), (1,2), (1,2)(3,4), (1,2,3), (1,2,3,4) ]
[ Group([ (1,4), (2,4), (3,4) ]), Group([ (1,2), (3,4) ]), Group([ (1,2), (1,3)(2,4), (3,4) ]), Group([ (1,2,3) ]),
  Group([ (1,2,3,4) ]) ]
[ [ 24, 12 ], [ 4, 2 ], [ 8, 3 ], [ 3, 1 ], [ 4, 1 ] ]
[ 1, 6, 3, 8, 6 ]
S_4共有24个元素，有5个共轭点，共5个不可约表示的维数分别为1，1，2，3，3，
1+1+2^2+3^2+3^2=24。
特征标表为：
gap> g:=SymmetricGroup(4);;L:=Irr(g);List(L,DegreeOfCharacter);
[ Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 1, -1, 1, 1, -1 ] ),
  Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 3, -1, -1, 0, 1 ] ),
  Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 2, 0, 2, -1, 0 ] ),
  Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 3, 1, -1, 0, -1 ] ),
  Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 1, 1, 1, 1, 1 ] ) ]
[ 1, 3, 2, 3, 1 ]
gap> nat:=NaturalCharacter(g);DegreeOfCharacter(nat);
Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 4, 2, 0, 1, 0 ] )
4

gap> tbl:= CharacterTable( g );
CharacterTable( Sym( [ 1 .. 4 ] ) )
gap> Display( tbl );
CT1

     2  3  2  3  .  2
     3  1  .  .  1  .

       1a 2a 2b 3a 4a
    2P 1a 1a 1a 3a 2b
    3P 1a 2a 2b 1a 4a

X.1     1 -1  1  1 -1
X.2     3 -1 -1  .  1
X.3     2  .  2 -1  .
X.4     3  1 -1  . -1
X.5     1  1  1  1  1

对称群S_3共有6个元素，因此不可约表示的维数只可能是1和2，它只有3个不可约特征标，1+1+2^2=6，不难得出其特征标表：
gap> g:=SymmetricGroup(3);;cl:=ConjugacyClasses(g);L1:=List(cl,Representative);L2:=List(cl,Centralizer);L3:=List(L2,IdGroup);L4:=List(cl,Size);tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
[ ()^G, (1,2)^G, (1,2,3)^G ]
[ (), (1,2), (1,2,3) ]
[ Group([ (1,3), (2,3) ]), Group([ (1,2) ]), Group([ (1,2,3) ]) ]
[ [ 6, 1 ], [ 2, 1 ], [ 3, 1 ] ]
[ 1, 3, 2 ]
CT2

     2  1  1  .
     3  1  .  1

       1a 2a 3a
    2P 1a 1a 3a
    3P 1a 2a 1a

X.1     1 -1  1
X.2     2  . -1
X.3     1  1  1
写一个群的特征标表，通常表内
第一行：给出恒等表示D^1的特征标——GAP4中是最后一行
χ^1_a=1，即表的第一行为1
第一列：给出恒元E表示的特征标——GAP4中也是第一列
χ^i(E)=m_i，即表的第一列为表示的维数
特征标表的构成
表头：行：群包含的几个类
设有g_c个类，第a类记为C_a   
前面写上类元素的个数n(a)
列：群的几个不等价不可约表示
有限群不等价不可约表示个数=g_c
表中：每一行  是一个不可约表示D^i
对应不同类C_a的特征标χ^i_a（a=1,…,g_c）
每一列  是群每类元素    
在不同表示D^i中的特征标χ^i_a（i=1,…,g_c）
特征标表是一个正方形表：g_c×g_c
由于特征标的正交关系，因此特征标表的任两行（列）满足下列正交关系：
行：∑[a=1->g_c]n(a)χ^i_a*χ^j_a=gδ_ij
列：∑[i=1->g_c]n(a)χ^i_a*χ^j_b=gδ_ab
正交关系既是写特征标表的依据，也是检验结果的依据
gap> g:=SymmetricGroup(3);;L:=Irr(g);List(L,DegreeOfCharacter);nat:=NaturalCharacter(g);DegreeOfCharacter(nat);
[ Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 3 ] ) ), [ 1, -1, 1 ] ), Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 3 ] ) ),
  [ 2, 0, -1 ] ), Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 3 ] ) ), [ 1, 1, 1 ] ) ]
[ 1, 2, 1 ]
Character( CharacterTable( Sym( [ 1 .. 3 ] ) ), [ 3, 1, 0 ] )
3

gap> g:=SymmetricGroup(3);;repr:=IrreducibleRepresentations(g);ForAll( repr, IsGroupHomomorphism );Length( repr );gens:= GeneratorsOfGroup( g );List( gens, x -> x^repr[1] );List( gens, x -> x^repr[2] );List( gens, x -> x^repr[3] );
[ Pcgs([ (2,3), (1,2,3) ]) -> [ [ [ 1 ] ], [ [ 1 ] ] ], Pcgs([ (2,3), (1,2,3) ]) -> [ [ [ -1 ] ], [ [ 1 ] ] ],
  Pcgs([ (2,3), (1,2,3) ]) -> [ [ [ 0, 1 ], [ 1, 0 ] ], [ [ E(3), 0 ], [ 0, E(3)^2 ] ] ] ]
true
3
[ (1,2,3), (1,2) ]
[ [ [ 1 ] ], [ [ 1 ] ] ]
[ [ [ 1 ] ], [ [ -1 ] ] ]
[ [ [ E(3), 0 ], [ 0, E(3)^2 ] ], [ [ 0, E(3)^2 ], [ E(3), 0 ] ] ]

gap> g:=SymmetricGroup(3);;p:=SmallerDegreePermutationRepresentation(g);IdGroup(Image(p));
IdentityMapping( Group([ (1,2,3), (1,2) ]) )
[ 6, 1 ]

gap> A4:=Group((),(1,2,3),(1,3,2),(1,2,4),(1,4,2),(1,3,4),(1,4,3),(2,3,4),(2,4,3),(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3));;IdGroup(A4);g:=A4;;L:=Irr(g);List(L,DegreeOfCharacter);nat:=NaturalCharacter(g);DegreeOfCharacter(nat);p:=SmallerDegreePermutationRepresentation(g);IdGroup(Image(p));
[ 12, 3 ]
[ Character( CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 1, 1, 1, 1 ] ), Character( CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ),
  [ 1, E(3)^2, E(3), 1 ] ), Character( CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 1, E(3), E(3)^2, 1 ] ),
  Character( CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 3, 0, 0, -1 ] ) ]
[ 1, 1, 1, 3 ]
Character( CharacterTable( Alt( [ 1 .. 4 ] ) ), [ 4, 1, 1, 0 ] )
4
IdentityMapping( Alt( [ 1 .. 4 ] ) )
[ 12, 3 ]

定义：若行列式不为零的m*m矩阵集合构成的群D(G)与给定群G同构或同态，则D(G)称为群G的一个m维线性表示，简称表示（representation）。
定义：在D(G)中，与G中元素R对应的矩阵D(R)称为元素R在表示D(G)中的表示矩阵。
定义：表示矩阵D(R)的迹χ(R)=TrD(R)称为元素R在表示D(R)中的特征标（character）。
共轭元素特征标相同，因此特征标也是类的函数。
注意
规定：表示矩阵行列式不为零，保证表示矩阵存在逆矩阵。
恒元：表示矩阵D(R)=I
互逆元素：表示矩阵为互逆矩阵D(R^-1)=D(R)^-1
真实表示（忠实表示）：D(G)=G。若D(G)=G，且G'=G，则D(G)=G'
恒等表示（平庸、单位、显然表示）：D(R)=1
自身表示：任何矩阵群本身就是自己的表示
定义：设D(G)是群G的一个表示，表示D(G)的特征标记为χ(G)，其中群元素R的表示矩阵D(R)对应的特征标χ(R)=TrD(R)=∑[i]D_ii(R)，即表示矩阵D(R)对角线上元素和为元素R的特征标。
性质：
等价表示的特征标相等；
同一表示中，共轭元素特征标相等；
特征标是类的函数，即同类元素特征标相等；
恒元的特征标等于表示的维数；
若恒元的表示D(E)的维数为m，则 χ(E)=TrD(E)_(m×m)=m。
上面特征标的性质并不要求群G是有限群，是所有群特征标的普遍性质，下面给出有限群特征标的性质。
gap> a:=PermutationMat((1,2,3),4);b:=PermutationMat((1,3,2),4);a*b;(1,2,3)*(1,3,2);
[ [ 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1 ] ]
[ [ 0, 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1 ] ]
[ [ 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0 ], [ 0, 0, 0, 1 ] ]
()
gap> TraceMat(a);TraceMat(b);TraceMat(a*b);
1
1
4
gap> TraceMat(a^2);TraceMat(b^2);
1
1
gap> a^2;b^2;
[ [ 0, 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1 ] ]
[ [ 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1 ] ]

正则表示（正规表示）：任何群都有的一个重要的真实表示。
D(G)称为群G的正则表示，是G的一个真实表示（D(G)=G）。
注：
每个有限群G都有一个正则表示，维数是有限群G的阶|G|。
除恒元外，元素S在正则表示中特征标都为零χ(S)=TrD(S)=|G|,S=E;0,S!=E。
D(S)、~D(S)都是群G的正则表示——表示矩阵形式不唯一。
由乘法表写出群G的正则表示[群元用|G|*|G|矩阵表示]及内禀正则表示？
G=S_3={I,r,r^2,f,fr,fr^2}={I,f,fr,fr^2,r,r^2}={f1=I,f2=r,f3=r^2,f4=fr,f5=fr^2,f6=f}
乘法表矩阵为：
{
{*,f1,f2,f3,f4,f5,f6},
{f1,f1,f2,f3,f4,f5,f6},
{f2,f2,f3,f1,f5,f6,f4},
{f3,f3,f1,f2,f6,f4,f5},
{f4,f4,f6,f5,f1,f3,f2},
{f5,f5,f4,f6,f2,f1,f3},
{f6,f6,f5,f4,f3,f2,f1}
}
f1=I是函數合成運算的單位元素，而f2=r與f3=r^2互為運算反元素（也就是互為反函數），f4=fr的反元素為自己，f5=fr^2的反元素為自己，f6=f的反元素也是自己。f4*f2=f6,f2*f4=f5。
S_3的正则表示：
D(f1)={
{1,0,0,0,0,0},
{0,1,0,0,0,0},
{0,0,1,0,0,0},
{0,0,0,1,0,0},
{0,0,0,0,1,0},
{0,0,0,0,0,1}
}
D(f2)={
{0,0,1,0,0,0},
{1,0,0,0,0,0},
{0,1,0,0,0,0},
{0,0,0,0,0,1},
{0,0,0,1,0,0},
{0,0,0,0,1,0}
}
……
gap> g:=SymmetricGroup(3);;gid:=IdGroup(g);s:=Elements(g);m:=MultiplicationTable(g);Print("置换阵表示1:\n");for si in s do ai:=PermutationMat(si,gid[1]);Print(ai);Print(",Tr:");Print(TraceMat(ai));Print("\n");od;Print("置换阵表示2:\n");for mi in m do bi:=PermList(mi);ci:=PermutationMat(bi,gid[1]);Print("PermList:");Print(bi);Print(",PermutationMat:");Print(ci);Print(",Tr:");Print(TraceMat(ci));Print("\n");od;
[ 6, 1 ]
[ (), (2,3), (1,2), (1,2,3), (1,3,2), (1,3) ]
[ [ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ], [ 2, 1, 4, 3, 6, 5 ], [ 3, 5, 1, 6, 2, 4 ], [ 4, 6, 2, 5, 1, 3 ], [ 5, 3, 6, 1, 4, 2 ],
  [ 6, 4, 5, 2, 3, 1 ] ]
置换阵表示1:
[ [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ] ],Tr:6
[ [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ] ],Tr:4
[ [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ] ],Tr:4
[ [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ] ],Tr:3
[ [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ] ],Tr:3
[ [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ] ],Tr:4
置换阵表示2:
PermList:(),PermutationMat:[ [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ] ],Tr:6
PermList:(1,2)(3,4)(5,6),PermutationMat:[ [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ] ],Tr:0
PermList:(1,3)(2,5)(4,6),PermutationMat:[ [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ] ],Tr:0
PermList:(1,4,5)(2,6,3),PermutationMat:[ [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ],
  [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ], [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ] ],Tr:0
PermList:(1,5,4)(2,3,6),PermutationMat:[ [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ],
  [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ] ],Tr:0
PermList:(1,6)(2,4)(3,5),PermutationMat:[ [ 0, 0, 0, 0, 0, 1 ], [ 0, 0, 0, 1, 0, 0 ], [ 0, 0, 0, 0, 1, 0 ],
  [ 0, 1, 0, 0, 0, 0 ], [ 0, 0, 1, 0, 0, 0 ], [ 1, 0, 0, 0, 0, 0 ] ],Tr:0
gap> g:=Group((),(1,2)(3,4)(5,6),(1,3)(2,5)(4,6),(1,4,5)(2,6,3),(1,5,4)(2,3,6),(1,6)(2,4)(3,5));;gid:=IdGroup(g);
[ 6, 1 ]

gap> V:=Group((),(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3));;IdGroup(V);g:=V;;L:=Irr(g);List(L,DegreeOfCharacter);nat:=NaturalCharacter(g);DegreeOfCharacter(nat);p:=SmallerDegreePermutationRepresentation(g);IdGroup(Image(p));
[ 4, 2 ]
[ Character( CharacterTable( Group([ (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) ]) ), [ 1, 1, 1, 1 ] ),
  Character( CharacterTable( Group([ (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) ]) ), [ 1, 1, -1, -1 ] ),
  Character( CharacterTable( Group([ (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) ]) ), [ 1, -1, 1, -1 ] ),
  Character( CharacterTable( Group([ (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) ]) ), [ 1, -1, -1, 1 ] ) ]
[ 1, 1, 1, 1 ]
Character( CharacterTable( Group([ (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) ]) ), [ 4, 0, 0, 0 ] )
4
IdentityMapping( Group([ (), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3) ]) )
[ 4, 2 ]

设有限群G：阶为g，有n个不等价不可约表示D^i(G), i=1,2,...,n，D^i(G)的维数为m_i，特征标为χ^i(G)
1)正交关系
∑[R∈G]χ^i(R)*χ^j(R)=gδ_ij对群元素求和，特征标作为群空间矢量
∑[a=1->g_c][n(a)/g]^(1/2)χ^i*_a[n(a)/g]^(1/2)χ^j_a=(1/g)∑[a=1->g_c]n(a)χ^i*_aχ^j_a=δ_ij对类求和，特征标作为类空间矢量（加上归一化系数）
2)完备性
特征标构成类空间完备基，任何类函数都可按其展开
F(R)=F(SRS^-1)=∑[j]C_jχ^j(R)
C_j=(1/g)∑[R∈G]χ^j(R)*F(R)
3)特征标内积
∑[R∈G]χ^i(R)*χ^i(R)=|χ(R)|^2=∑[R∈G]χ(R)*χ(R)
可约表示约化为几个不可约表示的过程中，有的不可约表示不止出现一次（重数）
X^-1D(R)X=(+)[j]a_jD^j(R)
χ(R)=∑[j]a_jχ^j(R)
a_i=(1/g)∑[R∈G]χ^i(R)*χ(R)
不可约表示：D(R)=D^j(R), χ(R)=χ^j(R)
特征标内积为∑[R∈G]χ^j(R)*χ^j(R)=|χ^j(R)|^2—a_j=1—>∑[R∈G]|χ(R)|^2=g
注意：
有些文献上定义特征标内积为(χ^i(R)|χ^j(R))=(1/g)∑[R∈G]χ^i(R)*χ^j(R)
则表示不可约的充要条件为(χ(R)|χ(R))=1
4)有限群不等价不可约表示的个数等于群的类数∑[j]1=g_c
维数的平方和等于群的阶数∑[j](m_j)^2=g
定义：把有限群G的所有不等价不可约表示的特征标，作为类的函数列出一个表，称为群G的特征标表。
由八阶非交换群D_4和Q_8的特征标表说明不同构的群，可以有相同的特征标表，因此，特征标表所提供的关于群结构的信息是不完全的。
gap> g:=DihedralGroup(8);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT5

     2  3  2  2  3  2

       1a 2a 4a 2b 2c

X.1     1  1  1  1  1
X.2     1 -1  1  1 -1
X.3     1  1 -1  1 -1
X.4     1 -1 -1  1  1
X.5     2  .  . -2  .
gap> g:=QuaternionGroup(8);;cl:=ConjugacyClasses(g);;L1:=List(cl,Representative);;L2:=List(cl,Centralizer);;L3:=List(L2,IdGroup);;L4:=List(cl,Size);;tbl:= CharacterTable( g );;Display( tbl );
CT6

     2  3  2  2  3  2

       1a 4a 4b 2a 4c
    2P 1a 2a 2a 1a 2a
    3P 1a 4a 4b 2a 4c

X.1     1  1  1  1  1
X.2     1 -1 -1  1  1
X.3     1 -1  1  1 -1
X.4     1  1 -1  1 -1
X.5     2  .  . -2  .