组队赛4解题报告（组合数学+禁位排列+容斥原理+精度进位+贪心背包+矩阵快速幂）

B题：ZOJ 3687  链接：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=4970

题意：在d天看不了c章，问复习的方案有多少种？

思路：这题比赛的时候看出是组合数组和容斥原理了，不过不会做，所以一直托到现在了才做。而且自己又看别人的解题报告理解了一下午才理解明白……笨了……

我在百度文库上已经知道错排和禁位排列是什么回事了，而且计算公式里面都有，不过这里的禁位有点特别，禁位的条件给出来了，所以不能直接用百度文库里面的计算，因为如d相同，或者c相同的时候它们是不能组合在一组里面的。所以别人的解题报告里面有了很好的解决办法就是dfs搜索禁位的情况……我把dfs里面的每一种情况都输出来了才知道是这么回事……哈哈，不过好在理解了……

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <stack>
#include <set>
#define PI acos(-1.0)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define sca(a) scanf("%d",&a)
#define pri(a) printf("%d\n",a)
#define lson i<<1,l,mid
#define rson i<<1|1,mid+1,r
#define MM 10000005
#define Max 2
#define INF 55566677
#define eps 1e-7
using namespace std;
typedef long long ll;
int cal[53],n,m,res,a[53][2],v[53][53],vi[53],vis[53];
void init()
{
    cal[0]=1;
    for(int i=1;i<=50;i++)
        cal[i]=((ll)cal[i-1]*i)%INF; //cal[i-1]*i会超出int
}
void dfs(int i,int num) //i表示第i个条件,num是禁位条件数
{
    if(i>m)
    {
        //当禁位条件数目为num时,其排列数有(n-num)!，
        //因为这num个禁位是固定的，所以让不固定的排列就是(n-num)!
        if(num&1) res=(res-cal[n-num])%INF;
        else res=(res+cal[n-num])%INF;
        //cout<<i<<' '<<num<<endl;
        return ;
    }
    dfs(i+1,num);
    if(!vi[a[i][0]]&&!vis[a[i][1]])
    {
        vi[a[i][0]]=vis[a[i][1]]=1;
        dfs(i+1,num+1);
        vi[a[i][0]]=vis[a[i][1]]=0;
    }
}
int main()
{
    init();
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        mem(v,0),mem(vi,0),mem(vis,0);
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a[i][0],&a[i][1]);
            if(!v[a[i][0]][a[i][1]]) v[a[i][0]][a[i][1]]=1;
            else m--,i--;
        }
        res=0;
        dfs(1,0);
        pri((res%INF+INF)%INF);
        //puts("");
    }
    return 0;
}

C题：ZOJ 3688 链接：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=4971

这题太神了，根本理解不了……

分析网址：http://blog.csdn.net/a_siscon/article/details/8874207

或者：http://blog.csdn.net/zu_xu/article/details/8762847

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <stack>
#include <set>
#define PI acos(-1.0)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define sca(a) scanf("%d",&a)
#define pri(a) printf("%d\n",a)
#define lson i<<1,l,mid
#define rson i<<1|1,mid+1,r
#define MM 10000005
#define Max 2
#define INF 55566677
#define eps 1e-7
using namespace std;
typedef long long ll;
const int MOD = 1000000007;
int a[100005];
int r[100005];
int main()
{
    a[1]=a[2]=0;
    r[1]=a[3]=1;
    for(int i=4; i<100005; i++)
    {
        int x=i-2;
        r[x]=r[MOD%x]*ll(MOD-MOD/x)%MOD;
        int aa=(i-2ll)*i%MOD*a[i-1]%MOD;
        int bb=(a[i-2]*ll(i)+(i&1?4:MOD-4))%MOD;
        a[i]=ll(aa+bb)*r[x]%MOD;
    }
    for(int n; scanf("%d",&n)==1; printf("%d\n",a[n]));
}

H题：ZOJ 3693  链接：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3693

题意：有n个参赛人员，加上教练2个共有n+2个人去吃饭，每k个人能免费一个人的钱，问教练这两个人付款的时候平分要付款多少，精确到分（0.0.1）。

思路：这题真有点坑，两个人因为要精确到分，所以如果只要超过0.01，即小数点第三位之后只要大于0，就得进位，所以……加下0.004999999999就可以了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define eps 1e-7
using namespace std;
int main()
{
    int n,k,ans;
    double w,c,d;
    while(~scanf("%d%lf%d",&n,&w,&k))
    {
        ans=(n+2)/k,c=w*(n+2-ans),d=c/2;
        printf("%.2lf\n",d+0.00499999);
    }
}

D题 ZOJ 3689 链接： http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3689

题意：给出n个工作量,T个总工作时间，然后每个工作ti,si表示做这个工作花费ti时间，可以得到 (T-ti)*si 的金子，（T-ti)表示的是剩余的时间。问工人能得到最多的金子是多少。

思路：刚开始看起来是01背包，然后大帝敲了样例都没得出来……然后又想了想，觉得是贪心，大帝又想出了排序的方案，我们验证了下，觉得很可行，然后又敲了贪心。不过交了还是WA，然后本来我已经没心思看这题了，木想到OE大帝加了个01背包就行了，哈哈，太神了……所以这题就是贪心+01背包。

贪心就是以：t1*s2<t2*s1 || (t1*s2==t2*s1&&t1<t2) 来排序贪心的，可以举几个例子就可以知道这个贪心的方法了。

本来我们已经觉得贪心已经足够把大部分的数据给过了，但是可能贪心的排序方法还有点不足吧，可能有的例子没过，所以加了01背包的优化之后就过了……呵呵，神！！！

总结：背包中的容量与价值顺序不同，得到的最优结果就会不一样，可以根据背包DP的选择最优情况可知，因为01背包是在前一状态最优的情况取得的，又因为本题与剩余的时候有关系，所以如果排序情况不同，那么剩余的时间就会不一样，所以用的背包最优结果也就不一样，又学到了这一点，哈哈……

解法一：下面第一个代码因为是根据上面的贪心方法做的，所以01背包就得就得从大的往小的取，先取得金子大的，然后下一次是小的在大的基础上取最优：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <stack>
#include <set>
#define PI acos(-1.0)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define sca(a) scanf("%d",&a)
#define pri(a) printf("%d\n",a)
#define lson i<<1,l,mid
#define rson i<<1|1,mid+1,r
#define MM 10005
#define MN 3005
#define INF 10000007
#define eps 1e-6
using namespace std;
typedef long long ll;
int dp[MM];
struct node
{
    int t,s;
} e[MN];
bool cmp(node a,node b)
{
    return (a.t*b.s<a.s*b.t||(a.t*b.s==a.s*b.t&&a.t<b.t));
}
int main()
{
    int n,t;
    while(~scanf("%d%d",&n,&t))
    {
        int i,j,ans=-INF;
        mem(dp,0);
        for(i=0; i<n; i++)
            scanf("%d%d",&e[i].t,&e[i].s);
        sort(e,e+n,cmp);
        for(i=0; i<n; i++)
            for(j=0; j<=t-e[i].t; j++)
            {
                dp[j]=max(dp[j],dp[j+e[i].t]+(j+e[i].t)*e[i].s);
                ans=max(ans,dp[j]);
            }
        pri(ans);
    }
}

解法二：这个也是背包，不过是我经常用的写法，也是那时学长教的那种写法，第二个for循环是逆序的，刚才那个是顺序的，有点难懂。因为逆序，所以贪心方法相反，是从得金子少的到大的排序的：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <stack>
#include <set>
#define PI acos(-1.0)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define sca(a) scanf("%d",&a)
#define pri(a) printf("%d\n",a)
#define lson i<<1,l,mid
#define rson i<<1|1,mid+1,r
#define MM 10005
#define MN 3005
#define INF 10000007
#define eps 1e-6
using namespace std;
typedef long long ll;
int dp[MM];
struct node
{
    int t,s;
} e[MN];
bool cmp(node a,node b)
{
    return (a.t*b.s>a.s*b.t||(a.t*b.s==a.s*b.t&&a.t>b.t));
}
int main()
{
    int n,t;
    while(~scanf("%d%d",&n,&t))
    {
        int i,j,ans=-INF;
        mem(dp,0);
        for(i=0; i<n; i++)
            scanf("%d%d",&e[i].t,&e[i].s);
        sort(e,e+n,cmp);
        for(i=0; i<n; i++)
            for(j=t; j>=e[i].t; j--)
            {
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-e[i].t]+j*e[i].s);
                ans=max(ans,dp[j]);
            }
        pri(ans);
    }
}

E题：ZOJ 3690 链接：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=4973

f[i]，表示前i-1个人的选择，且第i个人选择大于k的值
g[i], 表示前i-1个人的选择，且第i个人选择小于k的值
可得到递推式
f[i]=(m-k)*f[i-1]+(m-k)*g[i-1]
g[i]=k*f[i-1]+(k-1)*g[i-1]
可得到矩阵：
|f[i] g[i]|=|f[i-1] g[i-1]|*|m-k k  |
                            |m-k k-1|

   |f[n] g[n]|=|f[1] g[1]|* |m-k k  |^(n-1)
                            |m-k k-1|
ans=f[n]+g[n];

这个题刚开始我都不知道怎么递推，是队友递推出来我才知道的。然后dp 超时，宝哥就想到了快速幂矩阵，唉……今晚学了好久咦……

不过自己对着别人的代码终于整理出自己的快速幂矩阵的模板了……

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <fstream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <deque>
#include <vector>
#include <list>
#include <queue>
#include <string>
#include <cstring>
#include <map>
#include <stack>
#include <set>
#define PI acos(-1.0)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define sca(a) scanf("%d",&a)
#define pri(a) printf("%d\n",a)
#define lson i<<1,l,mid
#define rson i<<1|1,mid+1,r
#define MM 10000005
#define MN 3005
#define INF 1000000007
#define eps 1e-7
using namespace std;
typedef long long ll;
#define Max 3
struct Matrix //快速幂模板
{
    ll m[Max][Max];
    Matrix() {}
    friend Matrix operator*(Matrix &m1,Matrix &m2)
    {
        int i,j,k;
        Matrix temp;
        for(i=0;i<Max;i++)
            for(j=0;j<Max;j++)
            {
                temp.m[i][j]=0;
                for(k=0;k<Max;k++)
                    temp.m[i][j]+=(m1.m[i][k]*m2.m[k][j])%INF;
                temp.m[i][j]%=INF;
            }
        return temp;
    }
    friend Matrix quickpow(Matrix &M,ll n)
    {
        int i,j,k;
        Matrix temp;
        for(i=0;i<Max;i++)
            for(j=0;j<Max;j++) //单位矩阵
                if(i==j) temp.m[i][j]=1;
                else temp.m[i][j]=0;
        while(n)
        {
            if(n&1) temp=temp*M;
            n>>=1;
            M=M*M;
        }
        return temp;
    }
}res;
int main()
{
    ll n,m,k;
    while(~scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k))
    {
        res.m[1][1]=res.m[2][1]=m-k;
        res.m[1][2]=k;res.m[2][2]=k-1;
        res=quickpow(res,n-1);
        ll a=((res.m[2][1]*k)%INF+res.m[1][1]*(m-k)%INF)%INF;
        ll b=((res.m[2][2]*k)%INF+res.m[1][2]*(m-k)%INF)%INF;
        printf("%lld\n",(a+b)%INF);
    }
    return 0;
}