编程之美 - 浮点数的精确表示

问题描述：

如何将浮点数（小数）转换为分数的形式，这样可以更精确的表达出浮点数的值。

问题分析：

小数可以分为两种，有限小数和无限循环小数。

有限小数的处理相对简单：

只要把它乘以10的N次方，转换为整数，再和10的N次方都除以它们的最大公约数即可。

例如：0.25  把它乘以 10的2次方 变成25， 25/100 分子分母除以最大公约数25变成1/4即可。

无限循环小数的处理要复杂一些：

书中使用了一个有趣的计算方法，它把无限循环小数分为一小数部分和一个循环部分 例如： X=0.a1a2...am(b1b2...bn)

这里a是小数部分，b是循环部分。

1)  X先乘以10的m次方，把小数部分变为整数   X*10^m ==> a1a2...am + 0 .b1b2...bn(b1b2...bn)

     X = (a1a2...am + 0 .b1b2...bn(b1b2...bn))/(10^m)

2)  假设 Y = 0.b1b2...bn(b1b2...bn)，那么Y可以转换为 Y*10^n = b1b2...bn + 0.b1b2...bn(b1b2...bn)

      Y*10^n = b1b2...bn +  Y   ==>   Y =  b1b2...bn/(10^n - 1)

3)  把Y的部分代入X的等式中  X = (a1a2...am +  b1b2...bn/(10^n - 1))/(10^m)

     X = (a1a2...am * (10^n - 1) + b1b2...bn) / ((10^n - 1)*10^m)

例如 0.3(3) = (3*9 + 3) / (9*10) = 30 / 90 = 1/3

实例程序：

程序中的缺陷，如果循环小数位数太多，会造成乘积超过int的范围，造成计算错误。

#include <iostream>

using namespace std;

typedef struct _data
{
    unsigned long _a;
    unsigned long _b;   // the loop part, if = 0 means no
} data_t;

unsigned long gcb(unsigned long a, unsigned long b)
{
    unsigned long temp = 0, r = 0;

    // make sure a < b
    if (a > b)
    {
        temp = a;
        a = b;
        b = temp;
    }

    r = b % a;
    while(r != 0)
    {
        b = a;
        a = r;
        r = b%a;
    }

    return a;
}

void calc(data_t data)
{
    unsigned long temp = 0, gcb_val = 0;
    unsigned long power_a = 1, power_b = 1;

    temp = data._a;
    while (temp != 0)
    {
        temp = temp/10;
        power_a *= 10;
    }

    temp = data._b;
    while (temp != 0)
    {
        temp = temp/10;
        power_b *= 10;
    }

    cout << "a->" << data._a << ":" << power_a << "   b->" <<data._b << ":" << power_b << endl;

    // no loop part
    if (data._b == 0)
    {
        gcb_val = gcb(data._a, power_a);
        cout << data._a/gcb_val << "/" << power_a/gcb_val << endl;
    }
    else
    {
        temp = (data._a * (power_b - 1)) + data._b;
        power_b = power_a*(power_b - 1);
        gcb_val = gcb(temp, power_b);
        cout << temp/gcb_val << "/" << power_b/gcb_val << endl;
    }
}


int main()
{
    data_t test;
    int val = 0;
    //test._a = 1; test._b = 0;
    //test._a = 23; test._b = 0;
    //test._a = 3; test._b = 3;
    test._a = 1; test._b = 1;
    //test._a = 285714; test._b = 285714;   // error: int is overflow

    calc(test);

    cin >> val;
    return 0;
}