离散数学第一课

1、数理逻辑的历史
　　逻辑是研究人类思维学科，最早是由古希腊学者亚里士多德创建的，他的《工具论》奠定了逻辑学的理论基础。中国最早的一部逻辑专著--《墨经》也创造了一个比较完整的逻辑体系。
　　根据所研究的对象和方法的不同，逻辑学可分为形式逻辑、辩证逻辑和数理逻辑。数理逻辑得用数学方法研究推理，利用符号体系研究推理过程中前提和结论之间的关系，因此也叫符号逻辑。
　　从十七世纪开始，就有一些学者试图用数学的方法来研究逻辑。德国的哲学家的数学家莱布尼兹(G.W.Leibniz)被公认为是数理逻辑的创始人。他认为数学之所以能发展如此迅速，数学知识之所以能如此有效，就是因为数学使用了特别的符号语言。这种符号语言为表达思想和进行推理提供了非常良好的条件。因此他提出了用一种象数学一样的表意符号体系来研究思维形式和规律，能简洁地表达出各种的推理的逻辑关系，使得推理过程就象数学一样可以利用公式来进行计算，以便用计算来解决争论。
       1847年，英国数学家、逻辑学家布尔(G.Boole)发表了《逻辑的数学分析》(The mathematical Analysis of Logic)，建立了“布尔代数”(Boolean Algebra)，并创造一套符号系统，利用符号来表示逻辑中的各种概念。布尔建立了一系列的运算法则，利用代数的方法研究逻辑问题，初步奠定了数理逻辑的基础。
十九世纪七十年代末至二十世纪初，为了理解数学命题的性质和数学思维规律，德国的弗雷格(G.Frege)、意大利的皮亚诺(G.Peano)和英国的罗素(B.Russell)建立了古典逻辑演算、命题演算和谓词演算。数理逻辑突破了古典形式逻辑的局限，形成了一个完整的逻辑体系.
而德国的希尔伯特(D.Hilbert)和哥德尔(K.Godel)的研究努力又使数理逻辑成为一门内容丰富的独立学科。
二十世纪四十年代以后，数理逻辑又逐步在开关线路（数字逻辑）、自动化系统、编译理论、算法设计等方面获得了非常广泛的应用，从而迅速成为计算科学的基础理论之一。
数理逻辑的主要内容，大致可分为5个方面：逻辑演算、证明论、公理集合论、递归论和模型论。最基本的内容是命题逻辑和谓词逻辑。目前，除了这些传统的分支外，又出现了与计算科学有关的应用逻辑：多值逻辑、模糊逻辑、时序逻辑、模态逻辑、非单调逻辑、程序逻辑。

2、为何要学数理逻辑
大家都知道计算机是很有用的，但是要让计算机解决问题，必须先编写出计算机能自动执行的正确程序。而编写程序的前提是设计出解决此问题的算法。因此算法被认为是计算科学的核心之一。通常我们认为程序、算法和逻辑有如下的关系：
程序 = 算法 + 数据结构
算法 = 逻辑 + 控制
这就说明为了设计出好的算法，算法设计人员必须具备很好的逻辑思维能力。我们的逻辑思维能力的高低则取决于我们的数理逻辑或形式逻辑的修养。学习数理逻辑，能培养和提高我们的逻辑思维能力，开拓我们解决问题的思路，同时也能帮助我们更好地学习计算科学的后继课程。

3、逻辑的作用
有人以为既然每个人都能思维，逻辑思维能力就应该是人所共有的能力，不必专门学习。这是不对的。一个人能思维，并不意味着他有很强的逻辑思维能力。每个人的逻辑思维能力是有高低之分的。
逻辑是所有学科的基础，是每个人所必须具备的基本能力。无论你想要学习那一门专业，要学得好，学得快，就要求你具有较强的逻辑思维能力。走上工作岗位后，要解决工作中的问题，也要求你具备这样的能力。
逻辑思维能力不是与生俱来的，需要通过后天的学习培养才有可能形成和提高。如果从小就接受一点逻辑训练，提高逻辑推理的能力，人的基本素质就会有很大提高，学习和工作的能力和效果就会有较大的改观。
　　 国内外大量的实践表明，对学生进行逻辑思维训练，可以提高学生推理的能力，思辩的能力，学习的能力，从而提高人的工作能力。考试GRE中，有三分之一是的逻辑推理题。这些题目不需要任何专业知识，都是一些日常生活中的思考题，但是需要考生具备较高的逻辑思维能力。
日常生活中，一个人的思维可以出偏差，可以有不合逻辑的小错误。学习和工作中则不同，逻辑混乱，导致的问题可能比较严重。特别是从事计算机软硬件研究开发工作的人，正确的逻辑思维能力显得尤其重要。
因此，专门的逻辑思维训练对每个人都是十分有必要的。

4、命题演算
命题是指有真假意义的陈述句。命题演算是数理逻辑的一部分，它主要研究命题如何通过一些命题联结词构成更复杂的命题以及逻辑推理的方法。
如果我们把命题看作运算的对象，如同代数中的数字、字母或代数式，而把逻辑联结词看作代数中的“加、减、乘、除”那样的运算，那么由简单命题组成复合命题的过程，就可以当作逻辑运算的过程，从而实现命题的演算。
这样的逻辑运算也同代数运算一样具有一定的性质，满足一定的运算规律。例如满足交换律、结合律、分配律，同时也满足逻辑上的同一律、吸收律、双否律、德.摩根定律、肯定律、否定律和析取三段论等推理定律。利用这些定律，我们可以进行逻辑推理，可以简化复合命题，可以推证两个复合命题是不是等价，某个命题是否是若干前提的有效结论等等。

5、命题演算的一个具体模型--逻辑代数
逻辑代数也叫开关代数，它的基本运算是逻辑加、逻辑乘和逻辑非，也就是命题演算中的“或”、“与”、“非”，运算对象只有两个数 0和 1，相当于命题演算中的“真”和“假”。
逻辑代数的运算特点是只有两种不同的状态（0和1），因此可以很方便地模拟和表示电路分析中的接通和断开状态，因此，它在电路分析中得到广泛的应用。
与门、或门和非门这三种基本门电路可以用对应的命题联结词表示出来，这就是逻辑元件。
“与逻辑”指的是：只有当决定某一事件的全部条件都具备之后，该事件才发生，否则就不发生的一种因果关系。“与门”是指能够实现与逻辑关系的门电路。与门具有两个或多个输入端（设为P，Q，…，），一个输出端（设为R）。与门的输出和输入之间的逻辑关系用逻辑表达式表示为：R=P Q …。
“或逻辑”指的是：在决定某事件的诸条件中，只要有一个或一个以上的条件具备，该事件就会发生；当所有条件都不具备时，该事件才不发生的一种因果关系。“或门”是指能够实现或逻辑关系的门电路。或门具有两个或多个输入端，（设为P，Q，…，）一个输出端（设为R）。 或门的输出与输入之间的逻辑关系用逻辑表达式表示为：R=P Q …。
“非逻辑”是指：决定某事件的唯一条件不满足时，该事件就发生；而条件满足时，该事件反而不发生的一种因果关系。“非门”是指能够实现非逻辑关系的门电路。它有一个输入端（设为R），一个输出端（设为P）。非门的输出与输入之间的逻辑关系用逻辑表达式表示为：R= P。
通过逻辑代数的表达式能把一个个独立的逻辑元件组合成各种逻辑网络，从而使对应的电子线路具有某种逻辑功能。因此，逻辑代数在逻辑电路设计中有十分重要的应用。