基础算法（二）：Kmeans聚类算法的基本原理与应用
Kmeans聚类算法的基本原理与应用
内容说明：主要介绍Kmeans聚类算法的数学原理，并使用matlab编程实现Kmeans的简单应用，不对之处还望指正。
参考资料：http://www.cnblogs.com/tiandsp/archive/2013/04/24/3040883.html
一、Kmeans数学原理
以往的回归分类、朴素贝叶斯分类、SVM分类的样本的标签（类别）是已知的，通过大量的训练样本训练得到模型，然后判断新的样本所属已知类别中的哪一类。而Kmeans聚类属于无监督学习，样本所属的类别是未知的，只是根据特征将样本分类，且类别空间也是根据需要人为选定的。
Kmeans核心思想：最小化所有样本到所属类别中心的欧式距离和，采用迭代的方式实现收敛。
为了将J调整到最小，假设当前情况下J没有达到最小，那么可以通过固定每一个类别的中心u，调整每一个样本的所属类别c来减小J，也可以通过固定每一个样本的所属类别c，调整类别中心来减小J的值。理论上，可以有多组u,c值使得J最小，但实际应用中一般出现较少。
J为非凸函数，所以最后收敛的点有可能是全局最优，也有可能是局部最优，说明Kmeans对初始条件比较敏感，可多次给定不同的初始条件计算J值，最后选择最小的那一组作为最终的结果。下图为不断迭代至收敛的过程图。
二、Kmeans聚类的matlab实现
下面的代码主要来自参考资料，只是将三维数据改成二维数据，可以将二维训练数据类比为学生的语文和数学的成绩，通过聚类将300名学生按照成绩分别ABC三类，三维数据对应着可以类比为学生的语数外成绩。
matlab代码实现：
kmeans_test.m
clear
close all
clc
%% 采用随机函数的方法产生训练数据
%第一类数据
mu1=[0 0]; %均值
S1=[0.3 0;0 0.35]; %协方差
data1=mvnrnd(mu1,S1,100); %产生高斯分布数据
%%第二类数据
mu2=[1.25 1.25];
S2=[0.3 0;0 0.35];
data2=mvnrnd(mu2,S2,100);
%第三个类数据
mu3=[1.25 -1.25];
S3=[0.3 0;0 0.35];
data3=mvnrnd(mu3,S3,100);
%% 显示训练数据
plot(data1(:,1),data1(:,2),'+');
hold on;
plot(data2(:,1),data2(:,2),'r+');
plot(data3(:,1),data3(:,2),'g+');
grid on;
%三类数据合成一个不带标号的数据类
data=[data1;data2;data3]; %这里的data是不带标号的
%k-means聚类
[u re]=KMeans(data,3); %最后产生带标号的数据，标号在所有数据的最后，意思就是数据再加一维度
[m n]=size(re);
%% 最后显示聚类后的数据
figure;
hold on;
for i=1:m
if re(i,3)==1
plot(re(i,1),re(i,2),'ro');
elseif re(i,3)==2
plot(re(i,1),re(i,2),'go');
else
plot(re(i,1),re(i,2),'bo');
end
end
plot(u(:,1),u(:,2),'k+');
grid on;
KMeans.m
%N是数据一共分多少类
%data是输入的不带分类标号的数据
%u是每一类的中心
%re是返回的带分类标号的数据
function [u re]=KMeans(data,N)
[m n]=size(data); %m是数据个数，n是数据维数
ma=zeros(n); %每一维最大的数
mi=zeros(n); %每一维最小的数
u=zeros(N,n); %随机初始化，最终迭代到每一类的中心位置
for i=1:n
ma(i)=max(data(:,i)); %每一维最大的数
mi(i)=min(data(:,i)); %每一维最小的数
for j=1:N
u(j,i)=ma(i)+(mi(i)-ma(i))*rand(); %随机初始化，不过还是在每一维[min max]中初始化好些
end
end
while 1
pre_u=u; %上一次求得的中心位置
for i=1:N
tmp{i}=[]; % 公式一中的x(i)-uj,为公式一实现做准备
for j=1:m
tmp{i}=[tmp{i};data(j,:)-u(i,:)];
end
end
quan=zeros(m,N);
for i=1:m %计算每一个样本i所属的类别
c=[];
for j=1:N
c=[c norm(tmp{j}(i,:))];
end
[junk index]=min(c);
quan(i,index)=norm(tmp{index}(i,:));
end
for i=1:N %更新类别变化后的类别中心位置
for j=1:n
u(i,j)=sum(quan(:,i).*data(:,j))/sum(quan(:,i));
end
end
if norm(pre_u-u)<0.1 %不断迭代直到位置不再变化或变化极小
break;
end
end
re=[];
for i=1:m
tmp=[];
for j=1:N
tmp=[tmp norm(data(i,:)-u(j,:))];
end
[junk index]=min(tmp);
re=[re;data(i,:) index];
end
end
运行结果如下，这是按照高斯分布产生的3*100个二维的训练数据，可以根据需要替换训练数据。
这是Kmeans聚类之后的数据，每种颜色对应着一个类别，中心的黑色十字叉为类别中心。
三、Kmeans算法的实际应用