清晰解题： 寻找最大子数列-Kadane算法

本文参考：
Maximum sub array problem

• 问题： 给定一个数列，例如【−2, 1, −3, 4, −1, 2, 1, −5, 4】， 求一个连续的数列使得数列内的元素和最大， 示例中最大子数列应该是【4, −1, 2, 1】, 求和值为6。

• 这个问题是可以衍生到一些变种问题， 如寻找数列中最大乘积序列，且要求序列中，相邻元素间隔不超过限定值等， 常出现在笔试面试编程题中。

• 该问题最早于1977年提出，但是直到1984年才被Jay Kadane 发现了线性时间的最优解法，所以算法虽然长度很短，但其实并不容易理解。

• 算法描述：

  • 遍历该数组， 在遍历过程中， 将遍历到的元素依次累加起来， 当累加结果小于或等于0时， 从下一个元素开始，重新开始累加。
  • 累加过程中， 要用一个变量(max_so_far)记录所获得过的最大值
  • 一次遍历之后， 变量 max_so_far 中存储的即为最大子片段的和值。

此处为python 代码 ， 变量A 传入数组。

def max_subarray(A):
    max_ending_here = max_so_far = 0
    for x in A:
        max_ending_here = max(0, max_ending_here + x)
        max_so_far = max(max_so_far, max_ending_here)
    return max_so_far

• 首先， 题目中有一个隐含的设定， 最大子片段是可以为空的， 空片段的和值是0。 这一点必须要明确， 不然会无法理解算法的正确性， 所以当给定的数列中，求和为负数的时候，例如【-2，1， -3】， 算法会返回最大求和值0， 因为默认该数组的最大子片段是一个空序列。

• 理解此算法的关键在于:

  • 最大子片段中不可能包含求和值为负的前缀。 例如 【-2， 1，4】 必然不能是最大子数列， 因为去掉值为负的前缀后【-2，1】， 可以得到一个更大的子数列 【4】、
  • 所以在遍历过程中，每当累加结果成为一个非正值时， 就应当将下一个元素作为潜在最大子数列的起始元素， 重新开始累加。
  • 由于在累加过程中， 出现过的最大值都会被记录， 且每一个可能成为 最大子数列起始元素 的位置， 都会导致新一轮的累加， 这样就保证了答案搜索过程的完备性和正确性。