机器学习算法实现解析——libFM之libFM的训练过程之SGD的方法

本节主要介绍的是libFM源码分析的第五部分之一——libFM的训练过程之SGD的方法。

5.1、基于梯度的模型训练方法

在libFM中，提供了两大类的模型训练方法，一类是基于梯度的训练方法，另一类是基于MCMC的模型训练方法。对于基于梯度的训练方法，其类为fm_learn_sgd类，其父类为fm_learn类，主要关系为：

fm_learn_sgd类是所有基于梯度的训练方法的父类，其具体的代码如下所示：

#include "fm_learn.h"
#include "../../fm_core/fm_sgd.h"

// 继承自fm_learn
class fm_learn_sgd: public fm_learn {
    protected:
        //DVector<double> sum, sum_sqr;
    public:
        int num_iter;// 迭代次数
        double learn_rate;// 学习率
        DVector<double> learn_rates;// 多个学习率 

        // 初始化
        virtual void init() {       
            fm_learn::init();   
            learn_rates.setSize(3);// 设置学习率
        // sum.setSize(fm->num_factor); 
        // sum_sqr.setSize(fm->num_factor);
        }       

        // 利用梯度下降法进行更新，具体的训练的过程在其子类中
        virtual void learn(Data& train, Data& test) { 
            fm_learn::learn(train, test);// 该函数并没有具体实现
            // 输出运行时的参数，包括：学习率，迭代次数
            std::cout << "learnrate=" << learn_rate << std::endl;
            std::cout << "learnrates=" << learn_rates(0) << "," << learn_rates(1) << "," << learn_rates(2) << std::endl;
            std::cout << "#iterations=" << num_iter << std::endl;

            if (train.relation.dim > 0) {// 判断relation
                throw "relations are not supported with SGD";
            }
            std::cout.flush();// 刷新
        }

        // SGD重新修正fm模型的权重
        void SGD(sparse_row<DATA_FLOAT> &x, const double multiplier, DVector<double> &sum) {
            fm_SGD(fm, learn_rate, x, multiplier, sum);// 调用fm_sgd中的fm_SGD函数
        } 

        // debug函数，主要用于打印中间结果
        void debug() {
            std::cout << "num_iter=" << num_iter << std::endl;
            fm_learn::debug();          
        }

        // 对数据进行预测
        virtual void predict(Data& data, DVector<double>& out) {
            assert(data.data->getNumRows() == out.dim);// 判断样本个数是否相等
            for (data.data->begin(); !data.data->end(); data.data->next()) {
                double p = predict_case(data);// 得到线性项和交叉项的和，调用的是fm_learn中的方法
                if (task == TASK_REGRESSION ) {// 回归任务
                    p = std::min(max_target, p);
                    p = std::max(min_target, p);
                } else if (task == TASK_CLASSIFICATION) {// 分类任务
                    p = 1.0/(1.0 + exp(-p));// Sigmoid函数处理
                } else {// 异常处理
                    throw "task not supported";
                }
                out(data.data->getRowIndex()) = p;
            }               
        } 

};

在fm_learn_sgd类中，主要包括五个函数，分别为：初始化init函数，训练learn函数，SGD训练SGD函数，debug的debug函数和预测predict函数。

5.1.1、初始化init函数

在初始化中，对学习率的大小进行了初始化，同时继承了父类中的初始化方法。

5.1.2、训练learn函数

在learn函数中，没有具体的训练的过程，只是对训练中需要用到的参数进行输出，具体的训练的过程在其对应的子类中定义，如fm_learn_sgd_element类和fm_learn_sgd_element_adapt_reg类。

5.1.3、SGD训练SGD函数

SGD函数使用的是fm_sgd.h文件中的fm_SGD函数。fm_SGD函数是利用梯度下降法对模型中的参数进行调整，以得到最终的模型中的参数。在利用梯度下降法对模型中的参数进行调整的过程中，假设损失函数为 l ，那么，对于回归问题来说，其损失函数为：

l=12(y^(i)−y(i))2

对于二分类问题，其损失函数为：

l=−lnσ(y^(i)y(i))

其中， σ 为Sigmoid函数：

σ(x)=11+e(−x)

对于 σ(x) ，其导函数为：

σ′=σ(1−σ)

在可用SGD更新的过程中，首先需要计算损失函数的梯度，因此，对应于上述的回归问题和二分类问题，其中回归问题的损失函数的梯度为：

∂l∂θ=(y^(i)−y(i))⋅∂y^(i)∂θ

分类问题的损失函数的梯度为：

∂l∂θ=(σ(y^(i)y(i))−1)⋅y(i)⋅∂y^(i)∂θ

其中， λ 称为正则化参数，在具体的应用中，通常加上 L2 正则，即：

∂l∂θ+λθ

在定义好上述的计算方法后，其核心的问题是如何计算 ∂y^(i)∂θ ，在“机器学习算法实现解析——libFM之libFM的模型处理部分”中已知：

y^:=w0+∑i=1nwixi+∑i=1n−1∑j=i+1n⟨vi,vj⟩xixj

因此，当 y^ 分别对 w0 ， wi 以及 vi,f 求偏导时，其结果分别为：

∂y^∂θ=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪1xixi(∑j=1xjvj,f−xivi,f) if θ=w0 if θ=wi if θ=vi,f

在利用梯度的方法中，其参数 θ 的更新方法为：

θ=θ−η⋅(∂l∂θ+λθ)

其中， η 为学习率，在libFM中，其具体的代码如下所示：

// 利用SGD更新模型的参数
void fm_SGD(fm_model* fm, const double& learn_rate, sparse_row<DATA_FLOAT> &x, const double multiplier, DVector<double> &sum) {
    // 1、常数项的修正
    if (fm->k0) {
        double& w0 = fm->w0;
        w0 -= learn_rate * (multiplier + fm->reg0 * w0);
    }
    // 2、一次项的修正
    if (fm->k1) {
        for (uint i = 0; i < x.size; i++) {
            double& w = fm->w(x.data[i].id);
            w -= learn_rate * (multiplier * x.data[i].value + fm->regw * w);
        }
    }
    // 3、交叉项的修正
    for (int f = 0; f < fm->num_factor; f++) {
        for (uint i = 0; i < x.size; i++) {
            double& v = fm->v(f,x.data[i].id);
            double grad = sum(f) * x.data[i].value - v * x.data[i].value * x.data[i].value; 
            v -= learn_rate * (multiplier * grad + fm->regv * v);
        }
    }   
}

以上的更新的过程分别对应着上面的更新公式，其中multiplier变量分别对应着回归中的 (y^(i)−y(i)) 和分类中的 (σ(y^(i)y(i))−1)⋅y(i) 。

5.1.4、预测predict函数

predict函数用于对样本进行预测，这里使用到了predict_case函数，该函数在“机器学习算法实现解析——libFM之libFM的训练过程概述”中有详细的说明，得到值后，分别对回归问题和分类问题做处理，在回归问题中，主要是防止超出最大值和最小值，在分类问题中，将其值放入Sigmoid函数，得到最终的结果。

5.2、SGD的训练方法

随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent ，SGD）是一种简单有效的优化方法。对于梯度下降法的更多内容，可以参见“梯度下降优化算法综述”。在利用SGD对FM模型训练的过程如下图所示：

在libFM中，SGD的实现在fm_learn_sgd_element.h文件中。在该文件中，定义了fm_learn_sgd_element类，fm_learn_sgd_element类继承自fm_learn_sgd类，主要实现了fm_learn_sgd类中的learn方法，具体的程序代码如下所示：

#include "fm_learn_sgd.h"

// 继承了fm_learn_sgd
class fm_learn_sgd_element: public fm_learn_sgd {
    public:
        // 初始化
        virtual void init() {
            fm_learn_sgd::init();
            // 日志输出
            if (log != NULL) {
                log->addField("rmse_train", std::numeric_limits<double>::quiet_NaN());
            }
        }
        // 利用SGD训练FM模型
        virtual void learn(Data& train, Data& test) {
            fm_learn_sgd::learn(train, test);// 输出参数信息

            std::cout << "SGD: DON'T FORGET TO SHUFFLE THE ROWS IN TRAINING DATA TO GET THE BEST RESULTS." << std::endl; 
            // SGD
            for (int i = 0; i < num_iter; i++) {// 开始迭代，每一轮的迭代过程
                double iteration_time = getusertime();// 记录开始的时间
                for (train.data->begin(); !train.data->end(); train.data->next()) {// 对于每一个样本
                    double p = fm->predict(train.data->getRow(), sum, sum_sqr);// 得到样本的预测值
                    double mult = 0;// 损失函数的导数
                    if (task == 0) {// 回归
                        p = std::min(max_target, p);
                        p = std::max(min_target, p);
                        // loss=(y_ori-y_pre)^2
                        mult = -(train.target(train.data->getRowIndex())-p);// 对损失函数求导
                    } else if (task == 1) {// 分类
                        // loss
                        mult = -train.target(train.data->getRowIndex())*(1.0-1.0/(1.0+exp(-train.target(train.data->getRowIndex())*p)));
                    }
                    // 利用梯度下降法对参数进行学习
                    SGD(train.data->getRow(), mult, sum);                   
                }               
                iteration_time = (getusertime() - iteration_time);// 记录时间差
                // evaluate函数是调用的fm_learn类中的方法
                double rmse_train = evaluate(train);// 对训练结果评估
                double rmse_test = evaluate(test);// 将模型应用在测试数据上
                std::cout << "#Iter=" << std::setw(3) << i << "\tTrain=" << rmse_train << "\tTest=" << rmse_test << std::endl;
                // 日志输出
                if (log != NULL) {
                    log->log("rmse_train", rmse_train);
                    log->log("time_learn", iteration_time);
                    log->newLine();
                }
            }       
        }

};

在learn函数中，实现了SGD训练FM模型的主要过程，在实现的过程中，分别调用了SGD函数和evaluate函数，其中SGD函数如上面的5.1.3、SGD训练SGD函数小节所示，利用SGD函数对FM模型中的参数进行更新，evaluate函数如“机器学习算法实现解析——libFM之libFM的训练过程概述”中所示，evaluate函数用于评估学习出的模型的效果。其中mult变量分别对应着回归中的 (y^(i)−y(i)) 和分类中的 (σ(y^(i)y(i))−1)⋅y(i) 。

参考文献

• Rendle S. Factorization Machines[C]// IEEE International Conference on Data Mining. IEEE Computer Society, 2010:995-1000.
• Rendle S. Factorization Machines with libFM[M]. ACM, 2012.