超实数*R真的存在吗？

超实数*R真的存在吗？

    十八大之后，我决定立即回到老本行“超实数微积分”的网络科普。2012年12月19日，发表博文“超实数*R真的存在吗？”，现将全文重新发表如下：（此刻，全国数学高考正在进行中……）

对于无穷小微积分而言，超实数*R的重要性是无须质疑的。比如：无穷小ε与δ，无穷大H与K，它们在无穷小微积分里面的作用是不可或缺的。但是，这些”理想数“是否真的存在？有人是持有怀疑态度的。

针对这种情况，J. Keisler在2000年特意为”初等微积分“（Elementary Calculus）电子版写了一本可自由下载的电子参考资料，叫做”无穷小微积分基础“（Foundations of Infimitesimal Calculus)，深入地回答了有关问题。这是一本值得研读的电子书。

该书的要点是：给出超实数系*R的公理系统，然后在第23至31页利用所谓”超幂“（Ultrapower）直接构造出超实数*R系统，与构造实数系R一样，叫人无话可说。在此，我只想对好奇的读者指出这一事实，而不想陷入这8页的数学论证，显示无穷小的高贵身份。不过，我想提醒读者注意：这里面的布尔巴基风格。

归结为一句话：超实数*R存在的真实性与实数R的存在性是一样的，白纸黑字，写的一清二楚，无可非议。问题在于：这种含有无穷小与无穷大的”线段”似乎为欧几里德几何学所不容。直线上有许多“空隙”，但是，又能够相交于一点，显得怪怪的，不可思议。但是，这些奇怪现象都阻止不了莱布尼兹追随者的前进步伐。数学家的天性是服从“逻辑真理”。

此刻，国内的《高等数学》教材已经拿在我手中，我的心情很矛盾。是说，还是不说？我怕有人说我不自量力，对“国家级规划教材”持有不恭态度。左思右想，......仍然有点儿“举棋不定”。只好明日再说。

此刻，我想的问题是：我的读者是些什么人？我想，大部分应该是学生。但是，也有个别数学“高手”。在互联网上普及数学，不同于课堂讲课，讲课的对象是完全确定的。讲深了不行，讲浅了也不行，有点犯难。我真心希望看到大家的“意见反馈”，不管对与不对，我都愿意认真考虑。

在该教学参考书的前言中，J.Keisler有句话如下：

“......Since thengenerations of students have been taught that infinitesimals do not exist andshould be avoided”，意思是，自那时以后，几代大学生被告知（教导）：无穷小是不存在的，应该尽力避开。实际上，我国《高等数学》的老师们目前所做的宏伟事业正是这样的。对此，我个人很是无奈。

在数学中引入无穷小的征途上，我们都是莱布尼兹的后来人。

袁萌  6月7日