[51nod1239]欧拉函数之和

Description

求

∑i=1nφ(i)

n<=10^10

Solution

这道题和莫比乌斯函数一行，都可以通过神奇的推导的出结论。
我们设

ϕ(n)=∑i=1nφ(i)

众所周知，

∑d|nφ(d)=n

那么，

φ(n)=n−∑d|n,d<nφ(d)

于是

ϕ(n)=∑i=1n(i−∑d|i,d<iφ(d))

ϕ(n)=n∗(n+1)2−∑i=2n∑d|i,d<iφ(d)

ϕ(n)=n∗(n+1)2−∑id=2n∑d=1⌊nid⌋φ(d)

ϕ(n)=n∗(n+1)2−∑i=2n∑d=1⌊ni⌋φ(d)

ϕ(n)=n∗(n+1)2−∑i=2nϕ(⌊ni⌋)

于是和那道题一样做就好了。

还有一种做法。
这个问题的本质就是1~n中两两互质的数的对数。
那么我们可以用反演搞出来一个式子

Ans=∑i=1nμ(i)⌊ni⌋2

然后就分块搞就行了。
不过还是需要莫比乌斯函数前缀和。
参照 51nod1244

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define rep(i,a) for(int i=last[a];i;i=next[i])
#define N 5000000
using namespace std;
typedef long long ll;
const int Mo=1000000007;
const int mo=2333333;
const int ni=500000004;
int phi[N+5],p[N+5],l;
int last[mo],next[mo];
bool bz[N+5];
ll n,t[mo],v[mo];
void add(int x,ll y,ll z) {
    t[++l]=y;v[l]=z;next[l]=last[x];last[x]=l;
}
ll calc(ll x) {
    if (x<=N) return phi[x];int k=x%mo;ll ans=0,z=x%Mo;
    rep(i,k) if (t[i]==x) return v[i];
    for(ll l=2,r;l<=x;l=r+1) r=x/(x/l),(ans+=(r-l+1)%Mo*calc(x/l)%Mo)%=Mo;
    ans=(z*(z+1)%Mo*ni%Mo-ans+Mo)%Mo;
    add(k,x,ans);
    return ans;
}
int main() {
    fo(i,2,N) {
        if (!bz[i]) p[++p[0]]=i,phi[i]=i-1;
        fo(j,1,p[0]) {
            int k=i*p[j];if (k>N) break;
            bz[k]=1;if (!(i%p[j])) {phi[k]=phi[i]*p[j];break;}
            phi[k]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
    }
    phi[1]=1;fo(i,1,N) (phi[i]+=phi[i-1])%=Mo;
    scanf("%lld",&n);printf("%lld",calc(n));
}