线性变换和仿射变换

1. 线性变换

设v、w是两个线性空间.一个v至w的线性映射T,就称为v至w的线性变换.

线性变换必须满足任意的x,y∈v 及任意实数a,b,有 T(ax+by)=aT(x)+bT(y)
如恒等变换 I .v→v,对任意的x∈v,有 I(x)=x
因为 I(ax+by)=ax+by= a I(x)+b I(y) 满足 T(ax+by)=aT(x)+bT(y)所以 I 是线性变换.
几何上恒等变换不改变图形的大小和位置.其在常用基下对应的矩阵为单位矩阵E.
是不是线性变换就通过看是否满足T(ax+by)=aT(x)+bT(y)来验证.
同理 旋转变换、伸缩变换(几何上表现为扩大缩小图形 X=kx;Y=ky)、切变变换(几何上表现为X=x+ky;Y=y+kx)、投影变换(投影在x或y轴上)、反射变换(几何上表现为关于某条直线对称)、零变换(O)等都是线性变换.
若一个变换是由几个线性变换复合而成,该变换也为线性变换.

学到后面基本都是考线性变换对应的矩阵的相关计算及应用.


2. 仿射变换

一个任意的仿射变换都能表示为 乘以一个矩阵 (线性变换) 接着再 加上一个向量 (平移).
综上所述, 我们能够用仿射变换来表示:
旋转 (线性变换)
平移 (向量加)
缩放操作 (线性变换)
你现在可以知道, 事实上, 仿射变换代表的是两幅图之间的 关系 .

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