海明校验+循环冗余校验码
海明校验
我们在前面指出过要能纠正信息字中的单个错误，所需的最小距离为3。实现这种纠正的方法之一是海明码。
海明码是一种多重(复式)奇偶检错系统。它将信息用逻辑形式编码，以便能够检错和纠错。用在海明码中的全部传输码字是由原来的信息和附加的奇偶校验位组成的。每一个这种奇偶位被编在传输码字的特定位置上。实现得合适时，这个系统对于错误的数位无论是原有信息位中的，还是附加校验位中的都能把它分离出来。
推导并使用长度为m位的码字的海明码，所需步骤如下：
1、确定最小的校验位数k，将它们记成D1、D2、…、Dk，每个校验位符合不同的奇偶测试规定。
2、原有信息和k个校验位一起编成长为m+k位的新码字。选择k校验位（0或1）以满足必要的奇偶条件。
3、对所接收的信息作所需的k个奇偶检查。
4、如果所有的奇偶检查结果均为正确的，则认为信息无错误。
如果发现有一个或多个错了，则错误的位由这些检查的结果来唯一地确定。
校验位数的位数
推求海明码时的一项基本考虑是确定所需最少的校验位数k。考虑长度为m位的信息，若附加了k个校验位，则所发送的总长度为m+k。在接收器中要进行k个奇偶检查，每个检查结果或是真或是伪。这个奇偶检查的结果可以表示成一个k位的二进字，它可以确定最多2k种不同状态。 这些状态中必有一个其所有奇偶测试试都是真的，它便是判定信息正确的条件。于是剩下的（2k-1）种状态，可以用来判定误码的位置。于是导出下一关系：
2k-1≥m+k
码字格式
从理论上讲，校验位可放在任何位置，但习惯上校验位被安排在1、2、4、8、…的位置上。
图5列出了m=4，k=3时，信息位和校验位的分布情况。
| 码字位置 | B1 | B2 | B3 | B4 | B5 | B6 | B7 |
| 校验位 | x | x | x | ||||
| 信息位 | x | x | x | x | |||
| 复合码字 | P1 | P2 | D1 | P3 | D2 | D3 | D4 |
图5 海明码中校验位和信息位的定位
校验位的确定
k个校验位是通过对m+k位复合码字进行奇偶校验而确定的。
其中：P1位负责校验海明码的第1、3、5、7、…（P1、D1、D2、D4、…）位，（包括P1自己）
P2负责校验海明码的第2、3、6、7、…（P2、D1、D3、D4、…）位，（包括P2自己）
P3负责校验海明码的第4、5、6、7、…（P3、D2、D3、D4、…）位，（包括P3自己）
对m=4，k=3，偶校验的例子，只要进行式次偶性测试。这些测试（以A、B、C表示）在图6所示各位的位置上进行。
| 奇偶条件 |
码 字 位 置 |
||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | |
| A B C |
x
|
x |
x x
|
x |
x
x |
x x |
x x x |
图6 奇偶校验位置
因此可得到三个校验方程及确定校验位的三个公式：
A=B1⊕B3⊕B5⊕B7=0 得P1=D1⊕D2⊕D4
B=B2⊕B3⊕B6⊕B7=0 得P2=D1⊕D3⊕D4
C=B4⊕B5⊕B6⊕B7=0 得P3=D2⊕D3⊕D4
若四位信息码为1001，利用这三个公式可求得三个校验位P1、P2、P3值。和海明码，如图7则表示了信息码为1001时的海明码编码的全部情况。而图8中则列出了全部16种信息（D1D2D3D4=0000～1111）的海明码。
| 码字位置 |
B1 |
B2 |
B3 |
B4 |
B5 |
B6 |
B7 |
| 码位类型 |
P1 |
P2 |
D1 |
P3 |
D2 |
D3 |
D4 |
| 信息码 |
- |
- |
1 |
- |
0 |
0 |
1 |
| 校验位 |
0 |
0 |
- |
1 |
- |
- |
- |
| 编码后的海明码 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
图7 四位信息码的海明编码
| P1 | P2 | D1 | P3 | D2 | D3 | D4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
图8 未编码信息的海明码
上面是发送方的处理
在接收方，也可根据这三个校验方程对接收到的信息进行同样的奇偶测试：
A=B1⊕B3⊕B5⊕B7=0；
B=B2⊕B3⊕B6⊕B7=0；
C=B4⊕B5⊕B5⊕B7=0。
若三个校验方程都成立,即方程式右边都等于0，则说明没有错。若不成立即方程式右边不等于0，说明有错。从三个方程式右边的值，可以判断那一位出错。例如，如果第3位数字反了，则C=0(此方程没有B3），A=B=1（这两个方程有B3）。可构成二进数CBA，以A为最低有效位，则错误位置就可简单地用二进数CBA=011指出。
同样，若三个方程式右边的值为001，说明第1位出错。若三个方程式右边的值为100，说明第4位出错。
海明码的码距应该是3，所以能纠正1位出错。而奇偶校验码的码距才是2，只能发现1位出错，但不能纠正（不知道那一位错）。无校验的码距是1，它出任何一位出错后还是合法代码，所以也就无法发现出错。
这是关于海明码的经典说法，即码距为3，可以发现2位，或者纠正1位错。应满足2k-1≥m+k。
但在清华的王爱英主编的《计算机组成与结构》（该书已成为国内的权威）中还提出了一种码距为4的海明码，可以发现2位，并且纠正1位错。应满足2(k-1)≥m+k。
由于王爱英书上对这两种概念没有很仔细解释（特别对码距为3的海明码），过渡很突然。有些书简单抄袭时没有仔细消化，所以出现一些概念错。对于一般码距为3的海明码，应该是“可以发现2位，或者纠正1位错”，而不是“可以发现2位，并且纠正1位错”。在试题中出现过类似的错误。
循环冗余校验码
在串行传送（磁盘、通讯）中，广泛采用循环冗余校验码（CRC）。CRC也是给信息码加上几位校验码，以增加整个编码系统的码距和查错纠错能力。
CRC的理论很复杂，一般书上只介绍已有生成多项式后计算校验码的方法。检错能力与生成多项式有关，只能根据书上的结论死记。
循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。
校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2R，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*2R除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。
几个基本概念
1、多项式与二进制数码
多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为R，转换成对应的二进制数有R+1位。
多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。
如生成多项式为G(x)=x4+x3+x+1， 可转换为二进制数码11011。
而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为C(x)=x3+x2+x+1。
2、生成多项式
是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。
在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。
应满足以下条件：
a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。
b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做模2除后应该使余数不为0。
c、不同位发生错误时，应该使余数不同。
d、对余数继续做模2除，应使余数循环。
将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：
| N | K | 码距d | G(x)多项式 | G(x) |
| 7 | 4 | 3 | x3+x+1 |
1011 |
| 7 | 4 | 3 | x3+x2+1 |
1101 |
| 7 | 3 | 4 | x4+x3+x2+1 |
11101 |
| 7 | 3 | 4 | x4+x2+x+1 |
10111 |
| 15 | 11 | 3 | x4+x+1 |
10011 |
| 15 | 7 | 5 | x8+x7+x6+x4+1 |
111010001 |
| 31 | 26 | 3 | x5+x2+1 |
100101 |
| 31 | 21 | 5 | ||
| 63 | 57 | 3 | x6+x+1 |
|
| 63 | 51 | 5 | ||
| 1041 | 1024 | x16+x15+x2+1 |
||
| 11000000000000101 |
x12+x10+x5+x4+x2+1 |
1010000110101 |
1000011 |
x10+x9+x8+x6+x5+x3+1
11101101001
图9 常用的生成多项式
3、模2除（按位除）
模2除做法与算术除法类似，但每一位除（减）的结果不影响其它位，即不向上一位借位。所以实际上就是异或。然后再移位移位做下一位的模2减。步骤如下：
a、用除数对被除数最高几位做模2减，没有借位。
b、除数右移一位，若余数最高位为1，商为1，并对余数做模2减。若余数最高位为0，商为0，除数继续右移一位。
c、一直做到余数的位数小于除数时，该余数就是最终余数。
【例】1111000除以1101：
1011———商
————
1111000-----被除数
1101————除数
————
010000
1101
————
01010
1101
————
111————余数
CRC码的生成步骤
1、将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。
2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2R
3、用生成多项式（二进制数）对信息码做模2除，得到R位的余数。
4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。
【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x3+x+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。
解：
1、将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011。
2、此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文C(x)左移3（R）位变成1010000
3、用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行模2除：
1001-------商
------------------------
1010000
1011----------除数
------------
1000
1011
------------
011-------余数（校验位）
5、编码后的报文（CRC码）：
1010000
+ 011
------------------
1010011
CRC的和纠错
在接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0,则码字无误。若如果有一位出错，则余数不为0，而且不同位出错，其余数也不同。可以证明，余数与出错位的对应关系只与码制及生成多项式有关，而与待测碼字（信息位）无关。图10给出了G(x)＝1011，C(x)＝1010的出错模式，改变C(x)（码字），只会改变表中码字内容，不改变余数与出错位的对应关系。
| 收到的CRC码字 |
余数 | 出错位 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 码位 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 正确 |
|
000 | 无 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 错 误 |
|
001 010 100 011 110 111 101 |
1 2 3 4 5 6 7 |
图10 （7，4）CRC码的出错模式（G(x)＝1011）
如果循环码有一位出错，用G(x)作模2除将得到一个不为0的余数。如果对余数补0继续除下去，我们将发现一个有趣的结果；各次余数将按图10顺序循环。例如第一位出错，余数将为001，补0后再除（补0后若最高位为1，则用除数做模2减取余；若最高位为0，则其最低3位就是余数），得到第二次余数为010。以后继续补0作模2除，依次得到余数为100，0ll…，反复循环，这就是“循环码”名称的由来。这是一个有价值的特点。如果我们在求出余数不为0后，一边对余数补0继续做模2除，同时让被检测的校验码字循环左移。图10说明，当出现余数(101)时，出错位也移到A7位置。可通过异或门将它纠正后在下一次移位时送回A1。这样我们就不必像海明校验那样用译码电路对每一位提供纠正条件。当位数增多时，循环码校验能有效地降低硬件代价，这是它得以广泛应用的主要原因。
【例】对图10的CRC码（G(x)＝1011，C(x)＝1010），若接收端收到的码字为1010111，用G(x)＝1011做模2除得到一个不为0的余数100，说明传输有错。将此余数继续补0用G(x)＝1011作模2除，同时让码字循环左移1010111。做了4次后，得到余数为101，这时码字也循环左移4位，变成1111010。说明出错位已移到最高位A7，将最高位1取反后变成0111010。再将它循环左移3位，补足7次，出错位回到A3位，就成为一个正确的码字1010011。
通信与网络中常用的CRC
在数据通信与网络中，通常k相当大，由一千甚至数千数据位构成一帧，而后采用CRC码产生r位的校验位。它只能检测出错误，而不能纠正错误。一般取r=16，标准的16位生成多项式有CRC-16＝x16+x15+x2+1 和 CRC-CCITT＝x16+x15+x2+1。
一般情况下，r位生成多项式产生的CRC码可检测出所有的双错、奇数位错和突发长度小于等于r的突发错以及（1-2-(r-1)）的突发长度为r+1的突发错和（1-2-r）的突发长度大于r+1的突发错。例如，对上述r=16的情况，就能检测出所有突发长度小于等于16的突发错以及99．997%的突发长度为17的突发错和99．998%的突发长度大于17的突发错。所以CRC码的检错能力还是很强的。这里，突发错误是指几乎是连续发生的一串错，突发长度就是指从出错的第一位到出错的最后一位的长度(但是，中间并不一定每一位都错)。
【例1】某循环冗余码（CRC）的生成多项式 G(x)＝x3+x2+1，用此生成多项式产生的冗余位，加在信息位后形成 CRC 码。若发送信息位 1111 和 1100 则它的 CRC 码分别为＿A＿和＿B＿。由于某种原因，使接收端收到了按某种规律可判断为出错的 CRC 码，例如码字＿C＿、＿D＿、和＿E＿。（1998年试题11）
供选择的答案
| A：① lllll00 | ② 1111101 | ③ 1111110 | ④ 1111111 |
| B：① 1100100 | ② 1100101 | ③ 1100110 | ④ 1100111 |
| C～E：① 0000000 | ② 0001100 | ③ 0010111 | |
| ⑤ 1000110 | ⑥ 1001111 | ⑦ 1010001 | ⑧ 1011000 |
解：
A：G(x)＝1101，C(x)＝1111 C(x)*23÷G(x)＝1111000÷1101＝1011余111
得到的CRC码为1111111
B：G(x)＝1101，C(x)＝1100 C(x)*23÷G(x)＝1100000÷1101＝1001余101
得到的CRC码为1100101
C～E：
分别用G(x)＝1101对①～⑧ 作模2除: ① 0000000÷1101 余000 ② 1111101÷1101 余001
③ 0010111÷1101 余000 ④ 0011010÷1101 余000 ⑤ 1000110÷1101 余000
⑥ 1001111÷1101 余100 ⑦ 1010001÷1101 余000 ⑧ 1011000÷1101 余100
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