Compressive Sensing 压缩感知 -- 21世纪最火的研究方向
Compressive Sensing 压缩感知（转） 21世纪最火的研究方向
整个人类匍匐在上帝的脚下，艰难并努力地生存着。有多少次，被上帝无情的戏弄；也有多少次，尝试着和上帝较量。每当想起这个事情的时候，我总是禁不住想起中华人民共和国国歌，歌词写的真好，“…起来，起来，不愿做奴隶的人们…”（潜台词是：那些甘愿做奴隶的人们，你们就吸着别人的臭脚伢子味道好好享受，自我陶醉！呵呵，田汉这个人也很损。）。
人们接触上帝的唯一方式就是获得数据：不停地刺激他，让他有所表示。当然，也有人说，我可以梦想阿，我不反对，当然，梦想是每个人的权利。面对统治整个宇宙，庞大的上帝，如何有效、充分地获取数据是人类唯一可行的方式，至少到目前为止看来是这样的。
如何面对这些庞大，神秘的这些数据？我们的做法很天真，就是尽量获取呗(术语上，定义为“采样”)！痛心阿，“尽量”这个词真的太苦！因为我们不知道怎么样才能把上帝的细节尽可能的掌握清楚。
伟大的Fourier先生为我们开启了一扇大门，他认为：信号可以用谐波来表示。按照Fourier先生的要求，如果精确地掌握一个信号，需要知道该信号所有的频谱分量；换句话说，为了精确地掌握一个信号，需要无限小的采样间隔才能精确地获得该信号。
显然，在大多数情况下是不可能的，但这并不会否定Fourier先生耀眼的光芒！此时，Nyquist和Shanon登上了舞台，扮演了注定名垂史册的角色。他们认为：对于带宽信号(或者是准带宽信号)，对应有限个频谱分量的采样就可以准确描述该信号(用CS的观点来看，这个处理本身就是信号压缩)，这就是著名的Nyquist-Shanon定理。Nyquist和Shanon告诉我们：为了了解一个信号，我们首先需要一个重要的先验信息：信号带宽；进而，需要按照不小于2倍带宽采样率对信号进行采样。然而，众多的现实鞭策着我们，Nyquist-Shanon定理并不能撬开上帝的大门，它有时候也只能望洋兴叹。为什么？怎么办？
近年来，Donoho, Candes和Tao等人提出了Compressive sensing (Compressed Sensing, Compressed/ive sampling，CS)，该理论告诉我们：只要感兴趣的信号是可压缩的(或者是可稀疏表示的)，那么我们就可以通过少于，甚至是远少于Nyquist-Shanon的要求对信号采样就可精确地获得该信号。
不同的是，CS采取了与Nyquist-Shanon不同的信号获取方式，他并不是直接测量信号本身，而是测量信号与一个与其非相关的测量系统(称作为感知矩阵)后的信号。直觉上告诉我们，信号的所有信息全部被检测到了，为此它可看作是一种global信号采样方式，而Nyqusit-Shanon采样可看作是Local信号采样方式。
特别地是，Candes等人已证明：随机矩阵是最优的测量方式。从这个角度来看，我不禁想起著名声学家M.Fink等提出的时间反转理论，尤其是混沌腔和随机媒质中的时间反转理论，该理论表明：通过时间反转方法，我们可以获得超分辨率图像。另外，顺着这个思路，这与著名地质学家Kee Wapenaar和Berkout近年来提出的一个理念“Turning noise into signal: a paradix？”非常相近。这个时候我想起一句话，“所谓上帝，就是什么事也不干”。如果这个思路成立的话，从信息论的角度来看：整个宇宙走向无序。那么，上帝最初的全部在整个宇宙里稠密(dense)。如果我们合适的采样，就有可能逐渐敲开上帝的大门。此时阿，两个世纪前著名的数学家Poincare写过的一段话可以成为我这么多话的一个注脚：
If we knew exactly the laws of nature and the situation of the universe at the initial moment, we could predict exactly the situation of that same universe at a succeeding moment. But even if it were the case that the natural laws had no longer any secret for us, we could still only know the initial situation approximately. If that enabled us to predict the succeeding situation with the same approximation, that is all we require, and we should say that the phenomenon had been predicted, that it is governed by laws. But it is not always so; it may happen that small difference in the initial conditions produce very great ones in the final phenomena. A small error in the former will produce an enormous error in the latter. Prediction becomes impossible, and we have the fortuitous phenomenon.
-------Henri Poincaré
说了这么多，我相信CS是一种非常有应用前景的信号采样的指导理论，事实上，该理论已经在信号/图像处理、无线通信、雷达、MRI、大气、地质等众多的研究领域受到极大的关注，成为近一两年来非常热的研究领域。
P.S. ：
采样定理是采样过程所遵循的规律（又称取样定理、抽样定理），说明采样频率与信号频谱之间的关系， 1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1948年信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。通常信号或图像的采样须满足Shannon提出的Nyquist规则：采样率不小于最高频率的两倍(该采样率称作Nyquist采样率)，该规则支配着consumer audio, visual electronics, medial imaging devices, radio receivers, standard analog-to-digital converter technology等几乎所有的信号获取方式。
压缩感知（Compressive Sensing(CS)，或称Compressed Sensing、Compressed Sampling）是2006－2007年由Donoho(美国科学院院士)，Candes (Ridgelet, Curvelet创始人)，Tao(2006年菲尔兹奖获得者)等人提出的一种新的数据获取理论。该理论指出：对可压缩信号即便以远低于Nyquist采样标准采样，仍然能够精确地恢复出原始信号，因而被美国评为2007年度十大科技进展。在CS理论框架下，能够在数据获取时大幅度突破Nyquist采样定律的制约，给存储、传输和处理各种自然信号带来极大便利。虽然CS理论在天文、地质、计算机、遥感、雷达、通信、医疗成像等重要领域的应用研究还处在起步阶段，却已取得了一些不俗的成果。CS的两个核心内容是稀疏性(sparsity)和不相关性(incoherence)：前者由信号本身决定，后者由感知系统和信号共同确定(或者单方面认为是由感知系统决定).