[转]算法导论2.4 合并排序求逆序数

2-4 逆序对

设A[1...n]是一个包含n个不同数的数组。如果在i<j的情况下，有A[i]>A[j],则(i,j)就称为A中的一个逆序对。

(1)列出数组{2,3,8,6,1}的五个逆序。

(2)如果数组的元素取自{1，2...，n}，那么，怎样的数组含有最多的逆序对？

(3)插入排序的时间与输入数组中逆序对的数量之间有怎样的关系？

(4)给出一个算法，能用Θ（n㏒n)的最坏运行时间，确定n个元素的任何排列中你逆序对的数目。（提示：修改合并排序）

解答：

（1） 略

（2）逆序数组

（3）插入排序的时间与输入数组中逆序对的数量呈线性正相关关系。通过观察插入排序的算法伪码可知，算法的运行步骤主要取决于内层循环中元素移动的次数，而每次移动就意味着数组的逆序数减一，当排序结束时逆序数为零。

（4）依据分治法，如果我们将数组分解成两个子序列，分别求出两个子序列的逆序数，再求出两个子序列之间元素的逆序数，就可以得出整个数组的逆序数了。可以做以下考虑：

分解：将问题分成前后两个规模为n/2的数组

解决：分别求解各自的逆序对数。如果子问题规模为2或1，可直接求解。

合并：此时虽然知道两个子序列各自的逆序对数，但两个子序列之间的逆序对数无法轻易获知，如果进行两两比较的话，合并操作的时间复杂度就是n2 ，分治法没有意义。

再考虑上述“合并”的问题，如果此时两个子序列都是有序的话，则通过修改合并排序的MERG过程就可以得出子序列之间的逆序数：在MERG对两个子序列的第一个元素之间进行选则时，如果前一个序列的首元素被选中，则逆序数不变——该元素不会和后一个序列中的剩下元素构成逆序对，如果第二个序列的首元素被选中，则逆序数增加“第一个序列剩下的元素数”——该元素和前一序列中剩下的每个元素构成逆序对，MERG后这些逆序对消除。按着这个思路分治算法重新设计如下：

分解：将问题分成前后两个规模为n/2的数组

解决：分别进行递归合并排序，并记录累加排序所消除的的逆序对数。如果子问题规模为2或1，可直接求解。

合并：通过合并排序的MERG进行合并，在MERG过程中按上述方法累加逆序数。

PS：在最初用分治法考虑问题（4）时，排序的作用在一开并不那么明显，但通过对“合并”的分析，要求对子问题的求解需要产生“排序”的副作用。这种”副作用“在分治法中是值得注意的。

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