关于线性分数变换(或Mobius变换)的代数和几何特性

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这里给出一些线性分数变换（Linear Fractional Transformations）的结论性描述，以方便对Klein Group的可视化。线性分数变换是黎曼几何中非常重要的一种变换，它相当于欧氏空间中的线性变换。莫比乌斯曾经对它进行过系统研究并得出了许多非常有用的结论，所以又被叫做莫比乌斯变换（Mobius Transformations）。

1、代数方程

定义变换T： z -> (az + b) / (cz + d)为一个线性分数变换，其中a、b、c、d、z均为复数且ad - bc != 0。对于变换T可以马上得到以下两个结论：T(∞）= a / c以及T(-d / c) =∞。如果把T写成矩阵形式则为：

| a b |

| |

| c d |

令 D = ad - bc，叫做上面这个矩阵的determinant。其逆矩阵为：

| d/D -b/D |

| |

| -c/D a/D |

它相当于对矩阵的每个数乘上了一个系数 t = 1 / D，如果D为1的话，则t = 1，逆矩阵就只当不存在系数t了。我们从任意的正变换矩阵开始，求出D值，然后用t = 1 / sqrt(D)作为系数乘上该矩阵，这样得到的新矩阵就有一个D = 1的determinant。也就是说，如果：

| a b |

T= | | (其中, D = 1)

| c d |

则其逆可以表示为

| d -b |

T= | | (同样, D = 1)

| -c a |

由于有一个D = 1的方程了，所以，另外再给三个方程便可以唯一确定一个Mobius变换。也就是说，如果知道了三个不同点的变换结果，变换T就可以解出来。

当有一系列的变换放在一起并且满足下面两个条件的时候，我们可以得到群的概念：

a) 如果S和T属于这个群，则ST也属于这个群；

b) 如果S属于这个群，则S-1也属于这个群。

可以得出一个结论，Mobius变换集合是一个群。

2、几何和动力学特性

我在开头就说过，Mobius变换在黎曼几何中的地位相当于欧氏几何中的线性变换。所以，很多地方存在相似之处和相通之处。Mobius变换美丽的地方在于它把圆映射到另一个圆，进入的原料是圆或直线，出来的结果也是圆或直线。

Mobius变换还是保角变换，也就是说，变换之前的角度在变换后保持不变。或者更进一步，Mobius具有保持方向的特性。

再者是Mobius变换的不动点，求解方程T(z) = z便可以得出来，它实际上是一个一员二次方程，通常会有两个解，不过这两个解有可能会重合为一个。当D = 1时：

z = { a - d± sqrt[(a + d)^2 + 4] } / 2c

把a + d叫做T的trace，并标记为Tr T。在欧氏几何中，线性变换通常有三类：translation、rotation、scaling，而Mobius变换也同样有对应的三类：parabolic、elliptic、loxodromic。当系数是实数时候的loxodromic变换也被叫做hyperbolic变换。这里的TrT = a + d就可以看出变换的类别。

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