Petri Net 的形式化定义

Petri Net 定义

定义 1.1 如果三元组 (S, T, W) 称为一个 Petri 网图，那么

• S 是库所的有限集合
• T 是变迁的有限集合
  
• S ∪ T ≠ Φ，且 S ∩ T = Φ
• W: (S × T) ∪ (T × S) → N 为弧的多重集

流关系是弧的集合：F = {(x, y) | W(x, y) > 0}。在一些介绍 Petri 网相关文献中，弧的重度只定义为 1，并在定义 Petri 网图时使用 F 代替了 W。

定义 1.3 设 N = (S, T, F) 为一个 Petri 网图，∑ ＝ (S, T, F, M) 称为一个标记网，其中

• M ⊆ S，称为 N 的一个标记或一个瞬态
• 若 S ∈ T，且 ^.x ⊆ M，x^. ∩ M ＝ Φ，称事件 x 为可触发的
• 若事件 x 被触发（称为点火），则标记网 ∑ 转化为 ∑' = (S, T, F, M')，其中 M' = (M - ^.x) ∪ x^.，M' 也是 N 的一个标记，∑' 也是一个标记网

定义 1.2 设 N = (S, T, F) 为一个 Petri 网图，x ∈ S ∪ T，则

• ^.x = {y ∈ S ∪ T | (y, x) ∈ F}
• x^. = {y ∈ S ∪ T | (x, y) ∈ F}
• ^.x^.＝ ^.x ∪ x^.

其中，^.x 称为 x 的前提，x^. 称为 x 的后提，^.x^. 称为 x 的前后提。

定义 1.4 六元组 ∑ = (S, T, F, K, W, M) 称为一个库所 / 变迁系统，简称为 P / T 系统，如果下列条件成立

• (S, T, F) 是一个 Petri 网图，S 是库所的有限集合，T 是变迁的有限集合，F 是有向弧的有限集合
• K: S → N ∪ {ω} 是一个映射，使 S 中的每个元素 x 与一个自然数或无穷大值相对应，称为 x 的容量
• W: F → N - {0} 是一个映射，使 F 中的每条弧 f 与一个正整数对应，称为 f 的流量
• M: S → N ∪ {ω} 是一个映射，使 S 中的每个元素与一个有穷或无穷的初始标码数相对应，整个 M 称为 ∑ 的初始标记，满足 M(x) ≤ K(x)

定义 1.5 P / T 系统 ∑ = (S, T, F, K, W, M) 的运行规则如下：

• T 中任一变迁 t 被允许发生的条件是：
  ∀ s ∈ ^.t，M(s) ≥ W(s, t)
  ∀ s ∈ t^.，M(s) ≤ K(s) - W(t, s)
  其中 W(s, t) 表示从 s 到 t 的弧的流量
• 如果变迁发生前的标记为 M，则变迁发生后的标记 M' 是
  M(s) - W(s, t)， 若 s ∈ ^.t - t^.
  M'(s) = { M(s) + W(t, s)，若 s ∈ t^. - ^.t }
  M(s)， 其他
  注意，这里恒要求 ^.t ∩ t^. = Φ
• 初始标记是标记，任一标记经过变迁以后仍然变为标记

参考

[1] 李彤, 孔兵, 王黎霞等. 软件并行开发过程. 北京:科学出版社, 2003
[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Petri_net

well-formatted doc:

http://docs.google.com/Doc?id=ddrm6c35_512f45hshcz