[家里蹲大学数学杂志]第235期$L^p$ 调和函数恒为零

设 $u$ 是 $\bbR^n$ 上的调和函数, 且 $$\bex \sen{u}_{L^p}=\sex{\int_{\bbR^n}|u(y)|^p\rd y}^{1/p}<\infty. \eex$$ 试证: $u\equiv 0$.

 

证明: 由 $$\beex \bea \sev{u(x)}&=\sev{\frac{1}{\omega_n R^n}\int_{B_R(x)}u(y)\rd y}\quad\sex{\omega_n:\ \bbR^n\mbox{ 中单位球体积, 平均值定理}}\\ &\leq \frac{1}{\omega_n R^n} \sex{\int_{B_R(x)}|u(y)|^p\rd y}^{1/p} \cdot\sex{\int_{B_R(x)}1^\frac{p}{p-1}\rd y}^{1-1/p}\quad\sex{\mbox{H\"older 不等式}}\\ &\leq\frac{\sen{u}_{L^p}}{\sex{\omega_nR^n}^{1/p}}\\ &\to0\quad\sex{R\to\infty} \eea \eeex$$ 即知结论.