[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.4.8

设 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是正数, 且 $n\geq 1$. 证明: $$\bex \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\leq \frac{1}{\frac{1}{n}\sex{\frac{1}{x_n}+\cdots +\frac{1}{x_n}}}. \eex$$ (中山大学)

证明: 由 4.4.8 知 $$\bex \sqrt[n]{x_1\cdots x_n}=\frac{1}{\sqrt[n]{\frac{1}{x_1}\cdots \frac{1}{x_n}}} \geq\frac{1}{\frac{1}{n}\sex{\frac{1}{x_n}+\cdots +\frac{1}{x_n}}}. \eex$$