[裴礼文数学分析中的典型问题与方法习题参考解答]4.5.9

设 $f(x)$ 为连续实值函数, 对所有 $x$, 有 $f(x)\geq 0$, 且 $\dps{\int_0^\infty f(x)\rd x<+\infty}$, 求证: $$\bex \frac{1}{n}\int_0^n xf(x)\rd x\to 0\quad\sex{n\to\infty}. \eex$$ (中国科学院)

 

证明: 由 Cauchy 收敛原理知 $$\bex {\color{red}\forall\ \ve>0,}\ \exists\ N_1,\st n\geq N_1\ra \int_{N_1}^n f(x)\rd x<\frac{\ve}{2}. \eex$$ 又对该 $N_1$, 由 $$\bex \vlm{n}\frac{1}{n}\int_0^{N_1} f(x)\rd x=0 \eex$$ 知 $$\bex {\color{red}\exists\ N}>N_1,\st n\geq N\ra \frac{1}{n}\int_0^{N_1} f(x)\rd x<\frac{\ve}{2}. \eex$$ 于是 $$\bex {\color{red}n\geq N\ra \frac{1}{n}\int_0^n f(x)\rd x =\frac{1}{n}\int_0^{N_1} f(x)\rd x +\frac{1}{n}\int_{N_1}^n f(x)\rd x <\ve.} \eex$$