算法笔记——硬币找零之找钱方案数

题目来源：ProjectEuler  USACO2.3.4Money Systems

参考：topcoder

问题描述：

　　母牛们不但创建了它们自己的政府而且选择了建立了自己的货币系统。由于它们特殊的思考方式，它们对货币的数值感到好奇。

　　传统地，一个货币系统是由1,5,10,20 或 25,50, 和 100的单位面值组成的。

　　母牛想知道有多少种不同的方法来用货币系统中的货币来构造一个确定的数值。

　　举例来说, 使用一个货币系统 {1,2,5,10,...}产生 18单位面值的一些可能的方法是:18x1, 9x2, 8x2+2x1, 3x5+2+1,等等其它。

　　写一个程序来计算有多少种方法用给定的货币系统来构造一定数量的面值。保证总数将会适合long long (C/C++) 和 Int64 (Free Pascal)，即在0 到2^63-1之间。

输入：

　　货币系统中货币的种类数目是 N (1<=N<=25)。要构造的数量钱是 T (1<= T<=10,000)。

　　第一行: 二个整数，N 和 T 。

　　第二行： 可用的货币的面值 。

输出：

　　单独的一行包含那个可能的用这N种硬币凑足T单位货币的方案数。

分析：

　　假设N种硬币面值依次为v1, v2, ……vn，用f(t)表示构造t的方案数。当f(t) = 0时，表示不能用这些硬币组合出t。

　　思路1：要构造出T，实际上相当于求解下面关于xi方程的非负整数解的个数：

　　　　　　v1*x1 + v2*x2 + ……+vn*xn = T。

　　　　至于上面关于xi的多元方程的非负整数解的个数怎么求解，可以通过暴力搜索、回溯+分支限界，或者下面的方法。

　　思路2：假设k = T/vn，那么T可以按照下面的方式分解：

　　　　　　T = S0 + Vn * 0

　　　　　　T = S1 + Vn * 1

　　　　　　T = S2 + Vn * 2

　　　　　　……

　　　　　　T = Sk + v2 * k

　　　　其中S0……Sk由v1, v2……v(n-1)线性组合。相当于构造T的过程，分成用0, 1，2，……k个vn这k + 1种情况来考虑，所以可以得到下面的递推关系式。

　　　　　　DP(n,t)表示用前n种硬币，构造t的方案数，则：

　　　　　　　　DP(n, t) = DP(n-1, t - Vn * 0) + DP(n-1, t - Vn * 1) + …… + DP(n-1, t - Vn * k)  

　　　　　　上面递推关系式等价于：

　　　　　　　　DP(n, t) = DP(n-1, t) + DP(n, t - Vn)

　　　　有了递推关系式之后，可以编写动态规划的算法。但是通过分析，算法求解过程就是构造DP(N,T)的过程，最终DP(N,T)就是要求的结果，所以算法的时间和空间复杂度都是O(N*T)。

　　　　但是通过观察递推关系式，可以发现，DP(n, *)只会与DP(n, *)和DP(n-1, *)，所以在计算到DP(n, *)时，DP(n-2, *)、DP(n-3,*)……的信息已经没有作用，没必要继续存储，所以就可以进一步优化算法的时间和空间复杂度。

代码：

　　　　根据上面的分析，实现了思路2的递归方法、思路2的递推方法（空间复杂度分别O(N*T)和O(T)）。

　　　　代码见github:硬币找零之找钱方案数