迪杰斯特拉（Dijkstra）算法

迪杰斯特拉算法
　　迪杰斯特拉(Dijkstra)算法思想
　 按路径长度递增次序产生最短路径算法：
　　把V分成两组：
　　（1）S：已求出最短路径的顶点的集合
　　（2）V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合，将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，保证：（1）从源点V0到S中各顶点的最短路径长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度 （2）每个顶点对应一个距离值S中顶点：从V0到此顶点的最短路径长度T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和（反证法可证）
     求最短路径步骤
　　算法步骤如下：
　　1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值若存在<V0,Vi>，d<v0,Vi)为<V0,Vi>弧上的权值 　　若不存在<V0,Vi>，d(V0,Vi)为∝
　　2. 从T中选取一个其距离值为最小的顶点W且不在S中，加入S
   3. 对T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值
　　重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即S=T为止
迪杰斯特拉算法的原理
　　首先，引进一个辅助向量D，它的每个分量D表示当前所找到的从始点v到每个终点vi的最短路径的长度。如D[3]=2表示从始点v到终点3的路径相对最小长度为2。这里强调相对就是说在算法过程中D的值是在不断逼近最终结果但在过程中不一定就等于最短路径长度。它的初始状态为：若从v到vi有弧，则D为弧上的权值；否则置D为∞。显然，长度为 D[j]=Min{D | vi∈V} 的路径就是从v出发的长度最短的一条最短路径。此路径为(v,vj)。 那么，下一条长度次短的最短路径是哪一条呢？假设该次短路径的终点是vk，则可想而知，这条路径或者是(v,vk)，或者是(v,vj,vk)。它的长度或者是从v到vk的弧上的权值，或者是D[j]和从vj到vk的弧上的权值之和。 一般情况下，假设S为已求得最短路径的终点的集合，则可证明：下一条最短路径（设其终点为X）或者是弧(v,x)，或者是中间只经过S中的顶点而最后到达顶点X的路径。因此，下一条长度次短的最短路径的长度必是D[j]=Min{D | vi∈V-S} 其中，D或者是弧(v,vi)上的权值，或者是D[k](vk∈S)和弧(vk,vi)上的权值之和。 迪杰斯特拉算法描述如下： 1）arcs表示弧上的权值。若不存在，则置arcs为∞（在本程序中为MAXCOST）。S为已找到从v出发的最短路径的终点的集合，初始状态为空集。那么，从v出发到图上其余各顶点vi可能达到的最短路径长度的初值为D=arcs[Locate Vex(G,v),i] vi∈V 2）选择vj，使得D[j]=Min{D | vi∈V-S} 3）修改从v出发到集合V-S上任一顶点vk可达的最短路径长度。

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
　　Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
　　其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。
　　初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。

　　以下是具体的实现(C/C++):
　　/***************************************
　　* About: 有向图的Dijkstra算法实现
　　* Author: Tanky Woo
　　***************************************/
　　#include <iostream>
　　using namespace std;
　　const int maxnum = 100;
　　const int maxint = 999999;
　　// 各数组都从下标1开始
　　int dist[maxnum]; // 表示当前点到源点的最短路径长度
　　int prev[maxnum]; // 记录当前点的前一个结点
　　int c[maxnum][maxnum]; // 记录图的两点间路径长度
　　int n, line; // 图的结点数和路径数
　　// n -- n nodes
　　// v -- the source node
　　// dist[ ] -- the distance from the ith node to the source node
　　// prev[ ] -- the previous node of the ith node
　　// c[ ][ ] -- every two nodes' distance
　　void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum])
　　{
　　bool s[maxnum]; // 判断是否已存入该点到S集合中
　　for(int i=1; i<=n; ++i)
　　{
　　dist[i] = c[v][i];
　　s[i] = 0; // 初始都未用过该点
　　if(dist[i] == maxint)
　　prev[i] = 0;
　　else
　　prev[i] = v;
　　}
　　dist[v] = 0;
　　s[v] = 1;
　　// 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中
　　// 一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源点到所有其他顶点之间的最短路径长度
　　// 注意是从第二个节点开始，第一个为源点
　　for(int i=2; i<=n; ++i)
　　{
　　int tmp = maxint;
　　int u = v;
　　// 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
　　for(int j=1; j<=n; ++j)
　　if((!s[j]) && dist[j]<tmp)
　　{
　　u = j; // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
　　tmp = dist[j];
　　}
　　s[u] = 1; // 表示u点已存入S集合中
　　// 更新dist
　　for(int j=1; j<=n; ++j)
　　if((!s[j]) && c[u][j]<maxint)
　　{
　　int newdist = dist[u] + c[u][j];
　　if(newdist < dist[j])
　　{
　　dist[j] = newdist;
　　prev[j] = u;
　　}
　　}
　　}
　　}
　　// 查找从源点v到终点u的路径，并输出
　　void searchPath(int *prev,int v, int u)
　　{
　　int que[maxnum];
　　int tot = 1;
　　que[tot] = u;
　　tot++;
　　int tmp = prev[u];
　　while(tmp != v)
　　{
　　que[tot] = tmp;
　　tot++;
　　tmp = prev[tmp];
　　}
　　que[tot] = v;
　　for(int i=tot; i>=1; --i)
　　if(i != 1)
　　cout << que[i] << " -> ";
　　else
　　cout << que[i] << endl;
　　}
　　int main()
　　{
　　freopen("input.txt", "r", stdin);
　　// 各数组都从下标1开始
　　// 输入结点数
　　cin >> n;
　　// 输入路径数
　　cin >> line;
　　int p, q, len; // 输入p, q两点及其路径长度
　　// 初始化c[][]为maxint
　　for(int i=1; i<=n; ++i)
　　for(int j=1; j<=n; ++j)
　　c[i][j] = maxint;
　　for(int i=1; i<=line; ++i)
　　{
　　cin >> p >> q >> len;
　　if(len < c[p][q]) // 有重边
　　{
　　c[p][q] = len; // p指向q
　　c[q][p] = len; // q指向p，这样表示无向图
　　}
　　}
　　for(int i=1; i<=n; ++i)
　　dist[i] = maxint;
　　for(int i=1; i<=n; ++i)
　　{
　　for(int j=1; j<=n; ++j)
　　printf("%8d", c[i][j]);
　　printf("\n");
　　}
　　Dijkstra(n, 1, dist, prev, c);
　　// 最短路径长度
　　cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl;
　　// 路径
　　cout << "源点到最后一个顶点的路径为: ";
　　searchPath(prev, 1, n);
　　}
　　输入数据:
　　5
　　7
　　1 2 10
　　1 4 30
　　1 5 100
　　2 3 50
　　3 5 10
　　4 3 20
　　4 5 60
　　输出数据:
　　999999 10 999999 30 100
　　10 999999 50 999999 999999
　　999999 50 999999 20 10
　　30 999999 20 999999 60
　　100 999999 10 60 999999
　　源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
　　源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5
　　最后给出两道题目练手，都是直接套用模版就OK的：
　　1.HDOJ 1874 畅通工程续
　　2.HDOJ 2544 最短路