COJ 0601&0602 动态规划（二）及加强

未加强传送门0601：http://oj.cnuschool.org.cn/oj/home/addSolution.htm?problemID=571

加强传送门0602：http://oj.cnuschool.org.cn/oj/home/problem.htm?problemID=572

试题描述：

我们把一个数称为有趣的，当且仅当：
1. 它的数字只包含0, 1, 2, 3，且这四个数字都出现过至少一次。
2. 所有的0都出现在所有的1之前，而所有的2都出现在所有的3之前。
3. 最高位数字不为0。
因此，符合我们定义的最小的有趣的数是2013。除此以外，4位的有趣的数还有两个：2031和2301。
请计算恰好有n位的有趣的数的个数。由于答案可能非常大，只需要输出答案除以1000000007的余数。

输入：

输入只有一行，包括恰好一个正整数n (4 ≤ n ≤ 1000000（及100000000）)。 

输出：

输出只有一行，包括恰好n 位的整数中有趣的数的个数除以1000000007的余数。 

输入示例：

4

输出示例：

3

其他说明：

数位DP+强制滚动

题解：

先考虑可持久化的解。首先我们还是得从题目分析
0不能再首位是吧？那首位只能是1,2,3中的一个呗是吧？你放1看看行不，肯定不行啊，所有0得在1的前面，你放1了让0情何以堪？放2可以，放3的话你让2情何以堪？
所以首位只能放2对吧？
现在来说status这个二维数组，status[i][j]到第i个位置满足第j种状态的所有可能数，总共最多有6种状态：
0 -- 0 1 (2) 3
1 -- (0) 1 (2) 3
2 -- 0 1 (2) (3)
3 -- (0) (1) (2) 3
4 -- (0) 1 (2) (3)
5 -- (0) (1) (2) (3)
在括号里的数说明前面的k位中，只出现了括号里的数，你可以发现6个状态中2都是被括号括起来的，没办法，刚刚说了2必须是首位啊

比如说status[5][4] = 70的意思就是，到第5位（首位是第1位！）为止，保持第4种状态的数一共有70个（咳咳，当然数据是我瞎掰的）
而且这是你在填第k+1位的时候能保持的仅有的6个状态，其他的状态都是无效的
比如0（1）（2) 3就是无效的，那是不可能的啊，假如说你现在填的是第k位吧，那么你填完第k位的数后的状态是只包括1和2，那你想想，怎么可能只出现1和2呢？那你让0情何以堪？0就没地方放了。
下面说转移：首先status[i][0] = 1;
到第i位为止，第i位填的数字使整个数字要满足状态0，那么这样的可能有几个？1个呗，你要能填出2以外的数来我就去……
status[i][1] = (status[i - 1][1] * 2 + status[i - 1][0]) % mod;
到第i位为止，填第i位的数，使整个数保持状态1。要满足状态1，也就是只出现0和2，那你想前i-1位应该是个什么状态，要么是只有2，要么是0,2对吧？就两种状态
然后如果前i-1位是状态0的话（只有2），那你这一位只能填0了嘛，所以status[i - 1][0]就是这样来的，如果前i-1位是状态1（有0,2），那么你现在有两种选择，填0或者是2两种情况，status[i - 1][1] * 2就是这样来的，然后把两种情况相加，就表示到第i位为止，状态为1的数共有status[i][1]这么多个
然后后面的都差不多啦，因为每一位可能会进入6种不同的状态，所以都要算出来
最后输出status[n][5]，因为题目要求0,1,2,3必须至少出现一次，所有我们要输出状态5的数的个数

中间结果不断取余绝对会爆int（最坏情况是3个INF加起来超了），所以用long long存决策。

可持久化的DP：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 const int mod = 1000000007, maxn = 1000000 + 10;
 6 int n;
 7 long long status[maxn][6];
 8 void read(int& x){
 9     x = 0; int sig = 0;
10     char ch = getchar();
11     while(!isdigit(ch)) {if(ch == '-') sig = -1; ch = getchar();}
12     while(isdigit(ch)) {x = 10 * x + ch - '0'; ch = getchar();}
13     return ;
14 }
15 int solve(){
16     for (int i = 0; i < 6; i ++)
17         status[0][i] = 0;
18     for (int i = 1; i <= n; i ++){
19         status[i][0] = 1;
20         status[i][1] = (status[i - 1][1] * 2 + status[i - 1][0]) % mod;
21         status[i][2] = (status[i - 1][2] + status[i - 1][0]) % mod;
22         status[i][3] = (status[i - 1][3] * 2 + status[i - 1][1]) % mod;
23         status[i][4] = (status[i - 1][4] * 2 + status[i - 1][2] + status[i - 1][1]) % mod;
24         status[i][5] = (status[i - 1][5] * 2 + status[i - 1][4] + status[i - 1][3]) % mod;
25     }
26     return status[n][5];
27 }
28 int main(){
29     read(n);
30     printf("%d\n", solve());
31     return 0;
32 }

然后再改成滚动的DP：

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 const int mod = 1000000007;
 6 int n;
 7 long long status[2][6];
 8 void read(int& x){
 9     x = 0; int sig = 0;
10     char ch = getchar();
11     while(!isdigit(ch)) {if(ch == '-') sig = -1; ch = getchar();}
12     while(isdigit(ch)) {x = 10 * x + ch - '0'; ch = getchar();}
13     return ;
14 }
15 int cur = 0;
16 int solve(){
17     for (int i = 0; i < 6; i ++)
18         status[cur][i] = 0;
19     for (int i = 1; i <= n; i ++){
20         status[cur][0] = 1;
21         status[cur][1] = (status[cur ^ 1][1] * 2 + status[cur ^ 1][0]) % mod;
22         status[cur][2] = (status[cur ^ 1][2] + status[cur ^ 1][0]) % mod;
23         status[cur][3] = (status[cur ^ 1][3] * 2 + status[cur ^ 1][1]) % mod;
24         status[cur][4] = (status[cur ^ 1][4] * 2 + status[cur ^ 1][2] + status[cur ^ 1][1]) % mod;
25         status[cur][5] = (status[cur ^ 1][5] * 2 + status[cur ^ 1][4] + status[cur ^ 1][3]) % mod;
26         cur ^= 1;
27     }
28     return status[cur ^ 1][5];
29 }
30 int main(){
31     read(n);
32     printf("%d\n", solve());
33     return 0;
34 }

复杂度O(n)。

A掉加强版就改成矩阵快速幂就好了。

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstring>
 3 #include <algorithm>
 4 using namespace std;
 5 const int MOD = 1000000007;
 6 int n;
 7 void read(int& x){
 8     x = 0; int sig = 1; char ch = getchar();
 9     while(!isdigit(ch)) { if(ch = '-') sig = -1; ch = getchar(); }
10     while(isdigit(ch)) { x = 10 * x + ch - '0'; ch = getchar(); }
11     return ;
12 }
13 struct Matrix{
14     long long A[6][6];
15     Matrix operator * (const Matrix& ths) const{
16         Matrix c;
17         for(int i = 0; i < 6; i ++)
18            for(int j = 0; j < 6; j ++){
19                   c.A[i][j] = 0;
20                   for(int k = 0; k < 6; k ++) c.A[i][j] += A[i][k] * ths.A[k][j];
21                   c.A[i][j] %= MOD;
22            }
23         return c;
24     }
25 };
26 void Matrix_Pow(Matrix& ans, int n){
27     Matrix tmp = ans;
28     n --;
29     while(n){
30         if(n & 1) ans = ans * tmp;
31         tmp = tmp * tmp;
32         n = n >> 1;
33     }
34     return ;
35 }
36 int A[6][6] = { //前面有逗号，最后有分号，每个括号最后没东西 
37     { 1, 0, 0, 0, 0, 0 },
38     { 1, 2, 0, 0, 0, 0 },
39     { 1, 0, 1, 0, 0, 0 },
40     { 0, 1, 1, 2, 0, 0 },
41     { 0, 1, 0, 0, 2, 0 },
42     { 0, 0, 0, 1, 1, 2 }
43     /*
44     status[cur][0] = 1;
45     status[cur][1] = (status[cur ^ 1][1] * 2 + status[cur ^ 1][0]) % mod;
46     status[cur][2] = (status[cur ^ 1][2] + status[cur ^ 1][0]) % mod;
47     status[cur][3] = (status[cur ^ 1][3] * 2 + status[cur ^ 1][1]) % mod;
48     status[cur][4] = (status[cur ^ 1][4] * 2 + status[cur ^ 1][2] + status[cur ^ 1][1]) % mod;
49     status[cur][5] = (status[cur ^ 1][5] * 2 + status[cur ^ 1][4] + status[cur ^ 1][3]) % mod;
50     */ 
51 };
52 Matrix ans;
53 int main(){
54     for(int i = 0; i < 6; i ++)
55       for(int j = 0; j < 6; j ++)
56          ans.A[i][j] = A[i][j];
57     int n; read(n);
58     Matrix_Pow(ans, n - 1);
59     printf("%lld\n", ans.A[5][0]);
60     return 0;
61 }

就变成O（logn）的了。