周志华《机器学习》课后习题解答系列(四):Ch3.3 - 编程实现对率回归

这里采用Python-sklearn的方式,环境搭建可参考 数据挖掘入门:Python开发环境搭建(eclipse-pydev模式).

相关答案和源代码托管在我的Github上:PY131/Machine-Learning_ZhouZhihua.

思路概要

编程实现对率回归:
* 采用sklearn逻辑斯蒂回归库函数实现,通过查看混淆矩阵,绘制决策区域来查看模型分类效果;
* 自己编程实现,从极大化似然函数出发,采用梯度下降法得到最优参数,然后尝试了随机梯度下降法来优化过程。

3.3 编程实现对率回归

这里写图片描述

所使用的数据集如下:

周志华《机器学习》课后习题解答系列(四):Ch3.3 - 编程实现对率回归_第1张图片

本题是本书的第一个编程练习,采用了自己编程实现和调用sklearn库函数两种不同的方式,详细解答和编码过程:(查看完整代码):

1.获取数据、查看数据、预处理:

观察数据可知,X包含(密度、含糖量)两个变量,y为西瓜是否好瓜分类(二分),由此生成.csv数据文件,在Python中用Numpy读取数据并采用matplotlib库可视化数据:

样例代码:

''' data importion '''
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt  

# load the CSV file as a numpy matrix
dataset = np.loadtxt('../data/watermelon_3a.csv', delimiter=",")

# separate the data from the target attributes
X = dataset[:,1:3]
y = dataset[:,3]

# draw scatter diagram to show the raw data
f1 = plt.figure(1)   
plt.title('watermelon_3a')  
plt.xlabel('density')  
plt.ylabel('ratio_sugar')  
plt.scatter(X[y == 0,0], X[y == 0,1], marker = 'o', color = 'k', s=100, label = 'bad')
plt.scatter(X[y == 1,0], X[y == 1,1], marker = 'o', color = 'g', s=100, label = 'good')
plt.legend(loc = 'upper right')  
plt.show()

数据散点图:

周志华《机器学习》课后习题解答系列(四):Ch3.3 - 编程实现对率回归_第2张图片

2.采用sklearn逻辑回归库函数直接拟合:

虽然样本量很少,这里还是先划分训练集和测试集,采用sklearn.model_selection.train_test_split()实现,然后采用sklearn.linear_model.LogisticRegression,基于训练集直接拟合出逻辑回归模型,然后在测试集上评估模型(查看混淆矩阵和F1值)。

样例代码:

''' using sklearn lib for logistic regression '''
from sklearn import model_selection
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn import metrics


# generalization of test and train set
X_train, X_test, y_train, y_test = model_selection.train_test_split(X, y, test_size=0.5, random_state=0)

# model training
log_model = LogisticRegression() 
log_model.fit(X_train, y_train) 

# model testing
y_pred = log_model.predict(X_test)

# summarize the accuracy of fitting
print(metrics.confusion_matrix(y_test, y_pred))
print(metrics.classification_report(y_test, y_pred))

得出混淆矩阵和相关度量(查准率(准确率)、查全率(召回率),F1值)结果如下:

[[4 1] [1 3]]
             precision    recall  f1-score   support

        0.0       0.80      0.80      0.80         5
        1.0       0.75      0.75      0.75         4

avg / total       0.78      0.78      0.78         9

由混淆矩阵可以看到,由于样本本身数量较少,模型拟合效果一般,总体预测精度约为0.78。为提升精度,可以采用自助法进行重抽样扩充数据集,或是采用交叉验证选择最优模型。

下图是采用matplotlib.contourf绘制的决策区域和边界,可以看出对率回归分类器还是成功的分出了绝大多数类:

周志华《机器学习》课后习题解答系列(四):Ch3.3 - 编程实现对率回归_第3张图片

3.自己编程实现逻辑斯蒂回归

编程实现逻辑回归的主要工作是求取参数w和b(见书p59),最常用的参数估计方法是极大似然法,由于题3.1已经证得对数似然函数(见书3.27)是凸函数,存在最优解,这里考虑采用梯度下降法来迭代寻优。

回顾一下Sigmoid函数,即逻辑斯蒂回归分类器的基础模型:

这里写图片描述

目的是基于数据集求出最优参数w和b,最常采用的是极大似然法,参数的似然函数为:

这里写图片描述

根据书p59,最大化上式等价于最小化下式:

这里写图片描述

题3.2已证上式为凸函数,一定存在最小值,但按照导数为零的解析求解方式较为困难,于是考虑采用梯度下降法来求解上式最小值时对应的参数。

注:梯度下降法基本知识可参考书中附录p409页,也可直接采用书中p60式3.30偏导数公式。书中关于参数迭代改变式子如下:

这里写图片描述

对于迭代,可每次先根据(B.16)计算出梯度▽f(β),然后由(B.17)更新得出下一步的Δβ。

接下来编程实现基本的梯度下降法:

(1)首先编程实现对象式3.27:

def likelihood_sub(x, y, beta):
    ''' @param x: one sample variables @param y: one sample label @param beta: the parameter vector in 3.27 @return: the sub_log-likelihood of 3.27 ''' 
    return -y * np.dot(beta, x.T) + np.math.log(1 + np.math.exp(np.dot(beta, x.T)))   

def likelihood(X, y, beta):
    ''' @param X: the sample variables matrix @param y: the sample label matrix @param beta: the parameter vector in 3.27 @return: the log-likelihood of 3.27 '''
    sum = 0
    m,n = np.shape(X)  

    for i in range(m):
        sum += likelihood_sub(X[i], y[i], beta)

    return sum  

(2)然后基于训练集(注意x->[x,1]),给出基于3.27似然函数的定步长梯度下降法,注意这里的偏梯度实现技巧:

''' @param X: X is the variable matrix @param y: y is the label array @return: the best parameter estimate of 3.27 '''
def gradDscent_1(X, y):  #implementation of basic gradDscent algorithms

    h = 0.1  # step length of iteration
    max_times= 500  # give the iterative times limit
    m, n = np.shape(X)

    beta = np.zeros(n)  # parameter and initial to 0
    delta_beta = np.ones(n)*h  # delta parameter and initial to h
    llh = 0
    llh_temp = 0

    for i in range(max_times):
        beta_temp = beta.copy()

        # for partial derivative 
        for j in range(n): 
            beta[j] += delta_beta[j]
            llh_tmp = likelihood(X, y, beta)
            delta_beta[j] = -h * (llh_tmp - llh) / delta_beta[j]                
            beta[j] = beta_temp[j]

        beta += delta_beta            
        llh = likelihood(X, y, beta)

    return beta

通过追踪参数,查看其收敛曲线,然后来调节相关参数(步长h,迭代次数max_times)。下图是在当前参数取值下的beta曲线,可以看到其收敛良好:

周志华《机器学习》课后习题解答系列(四):Ch3.3 - 编程实现对率回归_第4张图片

(3)最后建立Sigmoid预测函数,对测试集数据进预测,得到混淆矩阵如下:

[[ 4. 1.] [ 1. 3.]]

可以看出其总体预测精度(7/9 ≈ 0.78)与调用sklearn库得出的结果相当。

(4)采用随机梯度下降法来优化:上面采用的是全局定步长梯度下降法(称之为批量梯度下降),这种方法在可能会面临收敛过慢和收敛曲线波动情况的同时,每次迭代需要全局计算,计算量随数据量增大而急剧增大。所以尝试采用随机梯度下降来改善参数迭代寻优过程。

随机梯度下降法的核心思想是增量学习:一次只用一个新样本来更新回归系数,从而形成在线流式处理。

同时为了加快收敛,采用变步长的策略,h随着迭代次数逐渐减小。

给出变步长随机梯度下降法的代码如下:

def gradDscent_2(X, y):  #implementation of stochastic gradDscent algorithms
  ''' @param X: X is the variable matrix @param y: y is the label array @return: the best parameter estimate of 3.27 '''
   import matplotlib.pyplot as plt  

   m, n = np.shape(X)
   h = 0.5  # step length of iterator and initial
   beta = np.zeros(n)  # parameter and initial
   delta_beta = np.ones(n) * h
   llh = 0
   llh_temp = 0

   for i in range(m):
       beta_temp = beta.copy()  # for partial derivative 

       for j in range(n): 
           h = 0.5 * 1 / (1 + i + j)  # change step length of iterator 
           beta[j] += delta_beta[j]
           llh_tmp = likelihood_sub(X[i], y[i], beta)
           delta_beta[j] = -h * (llh_tmp - llh) / delta_beta[j]   
           beta[j] = beta_temp[j]  

       beta += delta_beta    
       llh = likelihood_sub(X[i], y[i], beta)

   return beta

得出混淆矩阵:

[[ 3. 2.] [ 0. 4.]]

从结果看到的是:由于这里的西瓜数据集并不大,所以随机梯度下降法采用一次遍历所得的结果不太好,参数也没有完成收敛。这里只是给出随机梯度下降法的实现样例,这种方法在大数据集下相比批量梯度法应会有明显的优势。

参考链接:
由于这是本书第一个编程,索引资料较多,择其重要的一些列出如下:

  • Introduction to Machine Learning with Python and Scikit-Learn
  • scikit-learn官方主页
  • matplotlib官方主页
  • 随机梯度下降(Stochastic gradient descent)和批量梯度下降(Batch gradient descent)的公式对比、实现对比
  • 机器学习算法与Python实践之(七)逻辑回归(Logistic Regression)
  • plot decision boundary matplotlib
    Ask(matplotlib决策区域和边界绘制
  • Python数据可视化——散点图

你可能感兴趣的:(机器学习)