MLb-006 47《机器学习》周志华 第六章：支持向量机

第六章 支持向量机

此系列文章旨在提炼周志华《机器学习》的核心要点，不断完善中…

6.1 间隔与支持向量

• 超平面(w,b)
  存在多个划分超平面将两类样本分开的情况
  线性方程：$w^{T}x+b=0$

  • $w$：法向量，决定超平面方向
  • $b$：位移项，决定超平面与原点之间的距离

  样本空间中任意点到超平面的距离：$r=\frac{|w^{T}x+b|}{||w||}$

• 支持向量(super vector)
  条件一：距离超平面最近的几个训练样本点
  条件二：使得下方任一式子的等号成立
  $$\{\begin{array}{l}{w}^T{x}_i+b\ge +1,y_i=+1\\ w^T{x}_i+b\le -1,y_i=-1\end{array}$$
  

• 间隔(margin)
  两个一类支持向量到超平面的距离直和：$r=\frac{2}{||w||}$

• 最大间隔(maximum margin)
  对应的划分超平面
  $$ma{x}_{w,b}\frac{2}{||w||}$$
  $$s.t.y_i(w^T{x}_i+b)\ge 1,i=1,2,...m$$
  支持向量机的基本型
  $$mi{n}_{w,b}\frac{1}{2}||w|{|}^2$$
  $$s.t.y_i(w^T{x}_i+b)\ge 1,i=1,2,...m$$

上式就是凸二次规划问题

6.2 对偶问题

6.2.1 凸二次规划问题(convex quadratic programming)

6.2.2 对偶问题(dual problem)

• 更高效求解参数w和b的方法：拉格朗日乘子法
  对SVM基本型式子的每条约束添加大于等于零的拉格朗日乘子，得到该问题的拉格朗日函数：
  $$L(\mathbf{w},b,\mathbf{\alpha })=\frac{1}{2}||\mathbf{w}|{|}^2+\sum _{i=1}^m{\alpha }_i(1-y_i({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b))$$
  令L(w,b,α)对w和b的偏导为零
  $$\mathbf{w}=\sum _{i=1}^m{\alpha }_1{y}_i{\mathbf{x}}_i,0=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i$$
  将L(w,b,α)中的w和b消去，得到SVM基本型式子的对偶问题
  $$ma{x}_{\mathbf{\alpha }}\sum _{i=1}^m{\alpha }_i-\frac{1}{2}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^m{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j{\mathbf{x}}_i^T{\mathbf{x}}_j$$
  $$s.t.\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0,{\alpha }_i\ge 0,i=1,2,...m$$
• KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件
  $$\{\begin{array}{l}{\alpha }_i\ge 0;\\ y_{i}f({\mathbf{x}}_i)-1\ge 0;\\ {\alpha }_i(y_{i}f({\mathbf{x}}_i)-1)=0b\end{array}$$
• 求解对偶问题中的α
  思路：当做二次规划问题求解
  算法
  • 二次规划算法
    缺点：问题的规模正比于训练样本数，开销大
  • SMO(Sequential Minimal Optimization)算法
    选取一对需更新的变量
    固定这对变量以外的参数，求解对偶问题式中获得更新后的参数
    不断执行，直到收敛
• 确定偏移项b
  思路：使用所有支持向量求解的平均值

6.2.3 支持向量机的重要性质

训练完成后大部分的训练样本都不需保留，最终模型仅与支持向量有关

6.3 核函数

• 起初
  对非线性可分问题，可将样本从原始空间映射到一个更高维的特征空间，使得样本在这个特征空间内线性可分
  如：异或问题与非线性映射
  

• 对偶问题
  目标函数：$ma{x}_{\alpha }{\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i-\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^m{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j\varphi ({\mathbf{x}}_i{)}^T\varphi ({\mathbf{x}}_j)$
  限制条件：${\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i=0,{\alpha }_i\ge 0，i=1,2,...,m$
  困难性：由于特征空间维数可能很高，甚至无穷维，直接计算特征向量内积通常是困难的
  进行函数变换：$ma{x}_{\alpha }{\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i-\frac{1}{2}{\sum }_{i=1}^m{\sum }_{j=1}^m{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j\mathcal{K}({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)$

• 支持向量展式(support vector expansion)
  模型最优解可通过训练样本的核函数展开
  $$\begin{array}{rl}f(\mathbf{x})& ={\mathbf{w}}^T\varphi (\mathbf{x})+b\\ & =\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i\varphi ({\mathbf{x}}_i{)}^T\varphi (\mathbf{x})+b\\ & =\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{y}_i\mathcal{K}(\mathbf{x},{\mathbf{x}}_i)+b\end{array}$$

• 核函数定理
  核矩阵(kernel matrix)K总是半正定的
  只要一个对称函数所对应的核矩阵半正定，就能用作核函数
  对于一个半正定矩阵，总能找到一个与之对应的映射
  任何一个核函数都隐式地定义了一个称谓“再生核希尔伯特空间”(RKHS)的特征空间

• 常用的核函数
  线性核：$\mathcal{K}({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)={\mathbf{x}}_i^T{\mathbf{x}}_j$
  多项式核(d=1退化为线性核)：$\mathcal{K}({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)=({\mathbf{x}}_i^T{\mathbf{x}}_j{)}^d$
  高斯核(RBF核)：$\mathcal{K}({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)=exp(-\frac{||{\mathbf{x}}_i-{\mathbf{x}}_j|{|}^2}{2{\sigma }^2})$
  拉普拉斯核：$\mathcal{K}({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)=exp(-\frac{||{\mathbf{x}}_i-{\mathbf{x}}_j||}{\sigma })$
  Sigmoid核：$\mathcal{K}({\mathbf{x}}_i,{\mathbf{x}}_j)=tanh(\beta {\mathbf{x}}_i^T{\mathbf{x}}_j+\theta )$

• 注意点
  特征空间的好坏对支持向量机的性能至关重要
  “核函数选择”成为支持向量机的最大变数

6.4 软间隔与正则化

• 硬间隔(hard margin)：要求所有样本均满足约束，即所有样本都必须划分正确
• 软间隔(soft margin)
• 
  • 解决现实任务：很难确定合适的核函数使得训练样本在特征空间中线性可分
  • 缓解的方法：允许支持向量机在一些样本上出错
    允许某些样本不满足约束：$y_i({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b)\ge 1$
    不满足约束的样本应尽可能少
  • 新的优化目标函数：$mi{n}_{w.b}\frac{1}{2}||\mathbf{w}|{|}^2+C{\sum }_{i=1}^2{l}_{0/1}(y_i({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b)-1)$
• 替代损失(surrogate loss)
  • 替代损失函数比0/1损失函数一般具有较好的数学性质
    凸的连续函数
    0/1损失函数的上界
  • 常用的替代损失函数
    hinge损失：$l_{hinge}(z)=max(0,1-z)$
    指数损失(exponential loss)：$l_{exp}(z)=exp(-z)$
    对率损失(logistic loss)：$l_{log}(z)=log(1+exp(-z))$
• 松弛变量(slack variables)
  新的目标函数：$mi{n}_{w,b}\frac{1}{2}||\mathbf{w}|{|}^2+C{\sum }_{i=1}^m{\xi }_i$
  限制条件：$y_i({\mathbf{w}}^T{\mathbf{x}}_i+b)\ge 1-{\xi }_i,{\xi }_i\ge 0,i=1,2,...m$
• 正则化(regularization)
  • 各种替代损失函数学习模型的共性：$mi{n}_f\Omega (f)+C{\sum }_{i=1}^{m}l(f({\mathbf{x}}_i),y_i)$
    • 结构风险(structural risk)：优化目标中的第一项用来描述划分超平面的“间隔”大小
    • 经验风险(empirical risk)：另一项用来表述训练集上的误差
    • C用于对二者进行折中
  • 可理解为一种“罚函数法”：对不希望得到的结果施以惩罚，从而使得优化过程中趋向于希望目标
  • 正则化问题
    • Ω(f)：正则化项（Lp范数是常用的正则化项）
      • Lo范数||w||o
      • L1范数||w||1倾向于w的分量尽量稀疏，即非零分量个数尽量少
      • L2范数||w||2倾向于w的分量尽量取值均衡，即非零分量个数尽量稠密
    • C：正则化常数

6.5 支持向量回归

ε-间隔带：容忍f(x)与y之间最多有ε的偏差（认为此带中的预测正确）

SVR问题形式：$mi{n}_{w.b}\frac{1}{2}||w|{|}^2+C{\sum }_{i=1}^m{l}_{\epsilon }(f({\mathbf{x}}_i)-y_i)$
ε-不敏感损失函数
1）表达式
$$\{\begin{array}{l}0,if|z|\le \epsilon \\ |z|-\epsilon ,otherwise\end{array}$$
2）图像

SVR式子重写（间隔带两次的松弛程度可以不同，引入两个松弛变量）
引入拉格朗日乘子、偏导为零、对偶问题、KKT条件、求解w和b，特征映射、核函数

6.6 核方法

• 表示定理(representer theorem)
• 核函数的巨大威力
  表示定理对损失函数没有限制
  对正则化项Ω仅要求单调递增，不要求是凸函数
• 核方法定义：基于核函数的学习方法
• 核方法的常见用法：通过“核化”(引入核函数)将线性学习器拓展为非线性学习器
  核线性判别分析(Kernelized Linear Discriminant Analysis, KLDA)