个人机器学习笔记之线性回归

吴恩达机器学习笔记（1）——使用梯度下降做单、多变量的线性回归

机器学习个人笔记，学习中水平有限，内容如有缺漏还请多多包涵

序言

这里主要是吴恩达机器学习课程第二章（简单线性回归）、第五章（多变量线性回归）的代码实现，实际上课程还讲了正规方程（第五章）、多项式回归（第五章），但这里尚未实现。

单变量线性回归的python代码实现

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def h(x,pram):#假设函数，这里等价于y=ax+b 
    #x:自变量
    #pram:方程参数 
    return x*pram[1]+pram[0]
def gradientDescent(a,itertimes,datax,datay):#单变量梯度下降的线性回归
    #a:学习率
    #itertimes:迭代次数
    #datax:数据集中的自变量部分
    #datay:数据集中的结果部分
    m=len(datax)#训练集长度m
    pram=np.zeros(2)#参数，初始化为0
    temppram=np.zeros(2)#临时存储本次迭代的参数
    for i in range(0,itertimes):#迭代过程，执行itertimes次
        temppram[0]=pram[0]-a*np.sum(h(datax,pram)-datay)/m
        temppram[1]=pram[1]-a*np.sum((h(datax,pram)-datay)*datax)/m   
        if i%10==0:#每10代输出参数及误差的情况
           print("迭代",i)
           print( "参数：",pram)
           print("平方根误差:",np.sqrt(np.sum((h(datax,pram)-datay)**2)))
        pram=temppram
    return pram

x=np.random.rand(10,1)
y=x*5+4+np.random.rand(10,1)#生成数据集

plt.figure()
plt.scatter(x, y)#绘制数据集的散点图
d=gradientDescent(1, 100, x, y)#执行梯度下降算法，返回预测参数
plt.plot(x, h(x,d),color='red')#绘制预测值的散点图
plt.show()

可视化的单变量梯度下降（数据集：y=3x+2+random（0~1），取10个点）

多变量线性回归的python代码实现

多变量的函数图像无法直观显示，因此不使用matlibplot

import numpy as np

def h(x,pram):#假设函数，这里等价于y=P*X+b ,其中P代表参数向量，X代表自变量向量 
    pramt=np.array(pram[1:])
    return np.matmul(x,pramt.reshape(len(pram)-1,1))+pram[0]

def gradientDescent(a,itertimes,datax,datay):#单变量梯度下降的线性回归
    #a:学习率
    #itertimes:迭代次数
    #datax:数据集中的自变量部分
    #datay:数据集中的结果部分
    m=datax.shape[0]#训练集长度
    pram=np.zeros(datax.shape[1]+1)#参数，初始化为0
    temppram=np.zeros(datax.shape[1]+1)#临时存储本次迭代的参数
    for i in range(0,itertimes):#迭代过程，执行itertimes次
        temppram[0]=pram[0]-a*np.sum(h(datax,pram)-datay)/m#对参数theta0进行迭代 
        for j in range(1,datax.shape[1]+1):#对剩余参数进行迭代 
            temppram[j]=pram[j]-a*np.sum((h(datax,pram)-datay).reshape(1,m)*datax[...,j-1])/m          
        if i%10==0:#每10代输出一次误差
            print("迭代",i)
            print( "参数：",pram)
            print("平方根误差:",np.sqrt(np.sum((h(datax,pram)-datay)**2)))#没十代
        pram=temppram
        pass
    return pram

x=np.random.rand(10,4)
pram=np.array([1,2,3,4,5])#参数
y=np.matmul(x,pram[1:].reshape(len(pram)-1,1))+pram[0]+np.random.rand(10,1)#生成数据集

gradientDescent(1, 500, x, y)#执行梯度下降算法，返回预测参数

这里的数据集是y=2*x1+3*x2+4*x3+5*x4+1+random(0~1),取十个点
损失函数的值：

实现过程中的一些坑

1.迭代过程中参数更新计算h(x)必须使用上次迭代的参数pram

temppram[1]=pram[1]-a*np.sum((h(datax,pram)-datay)*datax)/m  

2.numpy中数组的X*Y得到的结果和np.matmul(X,Y)的结果是不同的
X*Y中X,Y的前后顺序不影响结果

x=np.array([[1,2,3],[2,3,4],[3,4,5]])
y=np.array([[1,2,3]])
pram=np.array([2,3,4])
print(y*pram)
print(y.T*pram)
print(x*pram)
print(x*pram.T)
print(pram*x)
=======================结果
[[ 2  6 12]]

[[ 2  3  4]
 [ 4  6  8]
 [ 6  9 12]]

[[ 2  6 12]
 [ 4  9 16]
 [ 6 12 20]]
 
 [[ 2  6 12]
 [ 4  9 16]
 [ 6 12 20]]
 
  [[ 2  6 12]
 [ 4  9 16]
 [ 6 12 20]]

np.matmul(X,Y)是真正的矩阵相乘，两个矩阵的shape必须符合矩阵相乘的要求，否则会报错
3.pram[0]代表假设函数Y=P*X+b中的常数b，datax中第1个变量(datax[0])对应的参数是pram[1]，因此pram长度为datax中变量个数+1

公式部分

梯度下降做的是对损失函数求导，并沿着导数下降的方向移动，不仅仅被用于线性回归。
线性回归的损失函数定义为:
$$j=\frac{1}{2m}\sum _{i=0}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2.$$
损失函数对xi求导,得到（此处省略部分微积分知识）:

$$\frac{1}{m}\sum _{i=0}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})\ast x^i.$$
梯度下降for单变量线性回归的迭代公式:

$${\theta }_0={\theta }_0-a\ast \frac{1}{m}\sum _{i=0}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}).$$
$${\theta }_1={\theta }_1-a\ast \frac{1}{m}\sum _{i=0}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})\ast x^i.$$

注：xi代表数据集中自变量矩阵中第i行，即第i个训练数据

梯度下降for多变量线性回归的迭代公式:
$${\theta }_0={\theta }_0-a\ast \frac{1}{m}\sum _{i=0}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}).$$
$${\theta }_j={\theta }_j-a\ast \frac{1}{m}\sum _{i=0}^m(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)})\ast x_j^i.j<0<m$$

注：xij代表数据集中自变量矩阵中第i行第j列，即第i个训练数据的第j个变量

学习视频：

单变量梯度下降.
多变量梯度下降.

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