September 10th 模拟赛C T3 雕塑 Solution

空降题目处(外网)
点我点我点我
空降题目处(内网)
点我点我点我

Description

Wcyz为了迎接百年校庆，美化校园，请了校友笨笨将n座雕塑，准备安置在校园内，整个校园可以抽象成一个n*n的大网格，每个1*1网格最多只能安置一座雕塑，但是某些1*1的网格上恰好是一个食堂或湖泊，这些网格是不能安置雕塑的，每个雕塑的造型相同，这样同一种安置方案中交换排列都算一种。任意雕塑在同一行或同一列是不合法的方案。
学校想知道有多少种安置方案，笨笨想从中选择最好的一种方案，笨笨想请你告诉他方

Input

第一行，两个整数n，m（n<=20,m<=10），用空格隔开，n表示n*n的大网格，m表示不能安置雕塑的位置
第二行至m+1行，每行两个数x，y，用空格分开，表示坐标（x,y）的1*1 的网格上不能安置雕塑。

Output

一个数，方案种数（方案种数<=2^63-1）

Solution

看到数据范围 n≤20 , m≤10 ,方案种数 ≤263−1 .由于方案总数较大,若采用单纯的搜索算法,很难做到不超时.其实观察一下数据规模中的 n 和 m , m≤10 ,这是一条重要的信息, m 比 n×n 少得多,那么雕塑“安置在禁区内的方案数”就必然比“安置在禁区外的”方案数少得多,”安置在禁区内的雕塑仍可以用dfs,但是必须搞清一个问题:安置在禁区内的方案总数与求不在禁区的方案数又有什么关系呢,这就恰好就是容斥原理中淘汰原则的十分巧妙的运用.
再来进行进一步的分析：用 Rk 表示把 k 个雕塑放在了 n×n 的方格上，并且这k个雕塑都处在禁区放置位置上的方案数，根据容斥原理的推论 n 个雕塑都安置在非禁区内的方案数等于:
n!−R1×(n−1)!+R2×(n−2)−R3×(n−3)!+⋯+(−1)k×Rk×(n−k)!+⋯+(−1)n×Rn
即:
Ans=∑nk=0(−1)k×Rk×(n−k)!
R0=1

Code

C++

#include
#include
#include
using namespace std;

long long ans,n,m,t[30],r[30],x[30],y[30],ni[30];
bool map[30][30],p[30],q[30];

void Queen(int t,int l);

int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for (int i=1;i<=m;i++)
    {
        scanf("%lld%lld",&x[i],&y[i]);
        map[x[i]][y[i]]=true;
    }
    Queen(1,0);
    t[0]=t[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
        t[i]=t[i-1]*i;
    for (int i=0;i<=n;i++)
    {
        if (i%2==0)
            ans+=r[i]*t[n-i];
        else
            ans-=r[i]*t[n-i];
    }
    printf("%lld",ans);
}

void Queen(int t,int l)
{
    r[t-1]++;
    bool j,k;
    if (t>n)
        return;
    for (int i=l+1;i<=m;i++)
        if ((!p[x[i]])&&(!q[y[i]]))
        {
            j=p[x[i]];
            k=q[y[i]];
            p[x[i]]=q[y[i]]=true;
            Queen(t+1,i);
            p[x[i]]=j;
            q[y[i]]=k;
        }
}

Pascal

var
        n,m,i:longint;
        s,ans:int64;
        pd:array[1..20,1..2] of boolean;
        x,y:array[1..20] of longint;
        f:array[0..20] of int64;
procedure dg(t,sum,h:longint);
var
        i:longint;
begin
        if t>sum then
        begin
                inc(s);
                exit;
        end;
        for i:=h to m do
                if (pd[x[i],1]=false) and (pd[y[i],2]=false) then
                begin
                        pd[x[i],1]:=true;
                        pd[y[i],2]:=true;
                        dg(t+1,sum,i+1);
                        pd[x[i],1]:=false;
                        pd[y[i],2]:=false;
                end;
end;
begin
        read(n,m);
        for i:=1 to m do
        begin
                read(x[i],y[i]);
        end;
        ans:=1;
        f[0]:=1;
        f[1]:=1;
        for i:=2 to n do
        begin
                ans:=ans*i;
                f[i]:=ans;
        end;
        for i:=1 to m do
        begin
                s:=0;
                dg(1,i,1);
                if i mod 2=1 then ans:=ans-s*f[n-i] else ans:=ans+s*f[n-i];
        end;                                         
        write(ans);
end.