测度

长度公理：

设有实数直线上的一些点集所构成的集类，若对每一个，都对应一个实数，使得：

 (1)；

(2) 如果，，那么；

(3)

但是，该公理思考：[a,b]区间上所有有理数点集A的长度是多少？[a,b]区间上所有无理数点集B的长度又是多少？

因为A是可数个点的并集，而在这个公理下，可以求的是有限多个点集的长度；同样，B是无限多个点的并集，也无法求。

 

测度是长度概念的推广，为的是解决无限多个点集的并集的长度。于是，将长度公理里的(2)改成“可数可加性”(即当集合是可数个集合之并时，可以像(2)中那样直接加)。于是得到 

Lebesgue测度公理：设实数直线上的点集所构成的集类，若对每一个，都对应一个实数，使得：

 (1)；

(2) 如果，，那么；

(3)

【这里不把“有限可加”改成“无限可加”，而改成“可数可加（或者可列可加）”的原因：

还考虑[a,b]区间上所有有理数点集A的长度是多少？[a,b]区间上所有无理数点集B的长度又是多少？

在Lebesgue测度公理下，。而，所以.

如果“无限可加”，则会有，.这与矛盾。】

 

Lebesgue测度：Lebesgue测度公理中就是测度。具体定义见《集论初步》。

【关于测度存在下的集类的代数结构探索，由出发：

(1)    ，即 ，因此满足“可数和封闭”（蕴含满足“有限和封闭”）。

(2)   ，此时，即为直和分解。这时，我们常常希望的是。

综上所述，测度往往定义在一个环上。

】

L外测度：设为中任一点集，对于每一列覆盖的开区间（），作出它们的体积总和（可以等于，不同的区间列一般有不同的，即就是与不等），所有这一切的组成一个下方有界的数集，它的下确界（完全由决定）称为的Lebesgue外测度，简称L外测度或者外测度，记作：

                                          

【L外测度其实类似与数分里的达布大和，L测度也是极限问题，故当然可以用夹逼定理；

另一方面，研究外测度的本质原因是：任何集合的外测度都存在。】

 

定理：(1)  ，；

            (2)  ；

            (3)   .（即使，也不一定取到等号）

【用外测度定义里的覆盖很显然得到上述结论】

 

可测性判定定义：设为中的点集，如果对任一点集都有：

                                                       

则称是可测的，此时的外测度就是的测度，记作 .  可测集全体记作。

【1   测度是定义在一个环上的函数 ，，是一个环。因此，可测性的本质为是否属于。

2   在实变中，研究对象是，很显然，测度往往定义在一个代数上。若外测度满足“可数可加性”，则外测度满足：有限交、并、取余集封闭，有限可加性。有：

                                                                               

又，. 故：。

另一方面，，则，当然不可测。

】

 

定理：任意多个可测集合的交（或者并）仍可测。（蕴含：可测集的补集也可测，可测集的差仍然可测）

【通过集合间运算很容易验证】

 

可测集类： 凡Borel集都是L可测集。（蕴含：(1)区间都是可测的，其测度等于区间长度；(2)凡开集、闭集皆可测）

【代数（集一种类）的成员称为Borel集（代数定义见《集论初步》）】

 

定理：，

其中， 为L可测集，，，为开集，为闭集。零测度集。

【此定理说明：任何可测集可以被外部向里方向逼近，可以被内部向外逼近。，】