Miller_Rabin算法 素数判定

 

算法理论基础

       Miller-Rabin算法是Fermat算法的一个变形改进，它的理论基础是由Fermat定理引申而来。

 

　　Fermat 定理： n是一个奇素数，a是任何整数(1≤ a≤n-1) ，则 a^(n-1)≡1(mod n)。

 

　　Miller-Rabin 算法的理论基础：如果n是一个奇素数， 将n-1表示成2^s*r的形式(r是奇 数)，a 是和n互素的任何整数， 那么a^r≡1(mod n) 或者对某个j(0≤j ≤s －1， j∈Z) 等式 a^(2^j*r) ≡－1(mod n)成立。 这个理论是通过一个事实经由Fermat定理推导而来： n是一个奇素数，则方程x^2 ≡ 1 mod n只有±1两个解。

重复n次实验。对于每一次实验，随机取检验算子a，带入定理进行检验，看看在算子a下，n能否满足

 

a^r ≡ 1 mod n或者对某个j (0 ≤ j≤ s−1, j∈Z) 等式a^(2jr) ≡ −1 mod n       **

如果任意一次实验不满足，则判定不是素数，如果都满足，可近似可以认为是素数（错误率极小）。

 

取模运算性质

术语：

For a positive integer n, two integers a and b are said to be congruent modulo n, and written as

一些有用的性质（可证明）：

如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则a+x≡b+y(mod m)。

如果a≡b(mod m)，x≡y(mod m)，则ax≡by(mod m)。

如果ac≡bc(mod m)，且c和m互质，则a≡b(mod m) （就是说同余式两边可以同时除以一个和模数互质的数）。

#include  
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再大就要手动实现大整数了。。。太麻烦了，可以用java里的BigInteger，里面提供了一个实现这个算法的方法，方法原型是：

boolean isProbablePrime(int certainty)

 

参考：https://blog.csdn.net/maxichu/article/details/45458569点击打开链接

https://blog.csdn.net/chensilly8888/article/details/42834697