挑战程序设计竞赛（第二章：2.6 数学问题）

线段上格点个数(最大公约数)

参考博文：挑战程序设计竞赛:线段上格点的个数
辗转相除法的复杂度（O（log(max(a,b))）。

双六

参考博文：挑战程序设计竞赛: 双六
扩展欧几里得

素数有关的算法

素数判定

以下的方法均是O($\sqrt{n}$)复杂度，一般情况已经适用。

//假设输入的都是正数
//素数测试
bool is_prime(int n)
{
    for(int i=2; i*i<n; i++)
    {
        if(n%i==0) return false; 
    }
    return n!=1;//1不是素数
}

//约数枚举
vector<int> divisor(int n)
{
    vector<int> res;
    for(int i=1; i*i<=n; i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            res.push_back(i);
            if(i!=n/i) res.push_back(n/i);//加入i的乘数
        }
    }
    return res;
}

//整数分解
map<int, int> prime_factor(int n)
{
    map<int, int> res;
    for(int i=2; i*i<=n; i++)
    {
        while(n%i==0)//记录分解时i参与了多少个
        {
            res[i]++;
            n /= i;
        }
    }
    if(n!=1) res[n] = 1;
    return res;
}

埃氏筛法

一般使用该方法先打表，将范围内所有素数找出来，存成数组，然后再使用该表来查询。复杂度（O(nloglogn)）。

//返回n以内素数的个数
int sieve(int n)
{
    int p = 0;
    for(int i=0; i<=n; i++) is_prime[i] = true;
    is_prime[0] = is_prime[1] = false;
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        if(is_prime[i])//当为素数是
        {
            prime[p++] = i;
            for(int j=2*i; j<=n; j+=i) is_prime[j] = false;//倍数全为合数
        }
    }
    return p;
}

区间筛法

参考博文：挑战程序设计竞赛: 区间内的素数个数
数据范围太大，使用埃氏筛法依然超时，则可以采用素数测试的思想，先筛选出1到$\sqrt{b}$范围内的素数，则a到b内的合数一定存在再1到$\sqrt{b}$范围内的因数（且为素数），所以不需要遍历a到b范围内的数字。

模运算（快速幂）

typedef long long ll;

ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod)
{
    ll res = 1;
    while(n>0)
    {
        if(n&1) res = (res*x)%mod;
        x = (x*x)%mod;
        n >>= 1;//除以2
    }
    return res;
}