RSA算法

RSA算法

参考源自阮一峰的网络日志

互质
两个整数互质可以分为两种情况：
1. 两个数均为质数
2. 其中一个为质数
3. p为大于1的整数，与p-1互质
4. p为大于1的奇数，与p-2互质

欧拉函数

ϕ(n):所有大于0小于等于n的整数与n互质的个数

函数性质:
1. ϕ(1)=1
2. 当n为质数时，ϕ(n)=n−1
3. 当n为质数的某次方时， 即n=pk,则ϕ(n)=pk−pk−1 ，这是因为只有当一个数不包含p因子时，才可能与n互质，而包含质数p的因子一共有 pk−1个,即1∗p,2∗p,3∗p,...,pk−1∗p , 把它们去除，剩下的就是与n互质的数, 也可以写为 ϕ(n)=pk(1−1p)
4. 如果n可以分解成两个互质的整数之积， n=p1∗p2,则ϕ=ϕ(p1∗p2)=ϕ(p1)ϕ(p2)=(p−1)(q−1) 证明
5. 对于任意一个大于1的正整数，都可以写成一些列质数之积 n=pk11∗pk22∗pk33∗...∗pkrr ，根据第4条结论知
ϕ(n)=ϕ(pk11)ϕ(pk22)ϕ(pk33)...ϕ(pkrr)=pk11pk22pk33...pkrr(1−1p)(1−1p1)(1−1p2)(1−1p3)...(1−1pr)

Euler’s theorem:

如果a与n互质， 且已知n的Euler函数 ϕ(n) ,则，

aϕ(n)≡1 (mod n)

Fermat’s little theorem:

假设a与质数p互质，由结论2知 ϕ(p)=p−1 ,则由Euler定理知

aϕ(p)=ap−1≡1 (mod n)

Modular multiplicative inverse(模反元素)：

ab≡1 (mod n)

即 如果两个正整数a与n互质，则一定可以找到整数b,使得(ab - 1)能够被n整除。或者说(ab-1)除以n的余数为1，此时b称为a的模反元素。
模反元素必定存在，因为

aϕ(n)=a∗aϕ(n−1)≡1 mod n

即 aϕ(n−1)为a 的模反元素

RSA密码算法

对于一个数据块，记为M，加密之后的文本块记为C，公钥为(e,n),私钥为(d,n)则
加密过程:

C=Me mod n

解密过程:

M=Cd mod n

RSA算法设计步骤
- step1 随机选择两个不相等的质数p,q,计算 n=p∗q
- step2 计算n的欧拉函数 ϕ(n)=(p−1)(q−1)
- step3 随机选择一个整数e,条件是 1<e<ϕ(n),且e与ϕ(n)互质
- step4 计算e对于 ϕ(n)的模反元素d

ed≡1 (mod ϕ(n))

ed−1=kϕ(n)

这个方程可以用 扩展欧几里得算法求解