矩阵的坐标变换

绕空间任意轴的旋转变换

图a:变换之前

　　绕空间任意轴的旋转变换：先将图形随直线（旋转轴）一起移动和旋转并使直线与某一坐标轴重合，再将图形绕直线进行旋转变换，最后将旋转变换后的图形和直线一起作相反的旋转和移动并使直线回到原来位置。具体变换步骤是：

　　1、平移使点（x₁,y₁,z₁）位于坐标原点，变换矩阵是：

　　2、绕x轴旋转，使直线处在x-z平面上。为此，旋转角应等于直线在y-z平面上的投影与z轴夹角。因此投影线与z轴夹角θ的旋转变换矩阵是：

、

　　3、绕y轴旋转，使直线与z轴重合。如图所示，直线与z轴夹角-φ的旋转变换矩阵是：

、

 

　　4、进行图形绕直线即绕z轴旋转，旋转矩阵是：

　　5、使直线回到原来位置，结果图形即为原图形绕指定直线旋转变换后的图形。

　　直线回到原来位置需要进行（3）～（1）的逆变换，其中：

　　图形绕空间任意轴旋转的总变换矩阵是

H = T·Rx·Ry·Rz·Ry-1·Rx-1·T -1

维错切变换是指图形沿X、Y、Z三个方向的错切变换。其变换矩阵为：

错切变换是画斜轴测图的基础，按方向不同，可分为六种基本变换。

（1）沿X轴含Y向错切，变换矩阵为：

错切变换为：

即x＇=x+Dy，y＇=y，z＇=z，如图

（2）沿X轴含Z向错切，变换矩阵为：

（3）沿Y轴含X向错切，变换矩阵为：

（4）沿Y轴含Z向错切，变换矩阵为：

（5）沿Z轴含X向错切，变换矩阵为：

（6）沿Z含Y向错切，变换矩阵为：

 基本二维变换 
    基本二维变换有比例变换（Scaling）、旋转变换（Rotating）、错切变换（Shearing）和平移变换（Translating）。 
1）比例变换 
比例变换就是将平面上任意一点的横坐标放大或缩小S11倍，纵坐标放大或缩小S22倍，即 
 
其中S称为比例变换矩阵。图2．24是比例变换的几个例子。图中（b）是S11=S22的情况，（C）是S11≠S21的情况 

 

2）旋转变换 
    旋转变换就是将平面上任意一点绕原点旋转θ角，一般规定逆时针方向为正，顺时针方向为负。从图2．25可推出变换公式： 
 
3）错切变换 
    在旋转变换矩阵中，非对角线元素有何几何意义？观察图2．26中的例子。变换矩阵中元素S21起作把图形沿X方向“错切”的作用，Y值越小，错切量越小。S12则有将图形向Y方向“错切”的作用，同样其作用的大小与X值成正比。 
 
4）平移变换 
    平移交换指的是将平面上任意一点沿X方向移动C。，沿Y方向移动ty（图2．27），其变换公式为 
 
由上式可见，平移交换不能直接用2X2矩阵来表示。下述齐次坐标变换矩阵则可解决这个问题。

注意:这句话关键(疑问点在于为什么二位转换需要3x3的矩阵)

2.3.4 齐次坐标 
    如把平面上的点P=[Xy］放到空间去表示为[X Y H]，使得x＝ X/H， y＝Y/H 则称［X Y H」是点 P的齐次坐标。如规定齐次坐标的第三个分量H必须是 1，则称为规范齐次坐标。P=[xy」的规范齐次坐标是[x y 1]。显然，二维空间中描述的点与齐次坐标空间描述的点是一对多的关系。使用齐次坐标之后，平移交换可用矩阵乘法表示如下:

注意:现在可以看到平移的时候x1=x*1+x*0+x*tx,y1=y*0+y*1+y*ty即等于相加的做法,现在所有的转换都可以使用矩阵乘法了

2.3.5 复合变换 

    实际问题中常遇到的是较为复杂的变换，但这些均可通过一系列的基本变换复合而成。下面举例说明。 
例1 绕任意点C=［Cx Cy］的旋转变换。图2.28总的变换可通过三个基本变换复合而成。先进行平移交换，平移量为-Cx和-Cy，然后绕原点旋转θ角，最后再进行平移量为Cx和Cy的平移变换。因此，任一点P经过逐次变换后的齐次坐标为

变换矩阵称为复合变换矩阵。

例 2相对于任意点 C=［Cx Cy］的比例变换

  
与例1其复合变换阵三个变换复合而成。即为  
 
由上述计算过程知，一个简单比例变换需要有三个计算步骤。对第一次平移，可看成是将变换物移动到坐标系的原点，第二次平移则可看成将变换物移回原位。 
例3 相对于直线 ax+by+c=0 进行对称变换  
 
此例可由五个基本变换复合而成，复合变换矩阵可按下式进行计算