矩阵的向量化及内积

定义1. 设矩阵 A=(aij)∈Rm×n ，把矩阵 A 的元素按行的顺序排列成一个列向量：

vecA=(a11,a12,⋯,a1n,a21,a22,⋯,a2n,⋯,am1,am2,⋯,amn)T

则称向量 vecA 为矩阵 A 按行展开的列向量。

定义2. 设矩阵 A=(aij)∈Rm×n ，把矩阵 A 的元素按行的顺序排列成一个列向量：

vecA=(a11,a21,⋯,an1,a12,a22,⋯,an2,⋯,a1m,a2m,⋯,anm)T

则称向量 vecA 为矩阵 A 按列展开的列向量。

定义3. 设 A,B∈Rn×n ，称

A∙B=⟨A,B⟩=Tr(ATB)=∑i=1n∑j=1naijbij=(vecA)TvecB

为矩阵 A,B 的内积。其中， Trace(A) 为矩阵 A 的迹，简记为 Tr(A) 。