除法取模与逆元

逆元：
若，b*b1 % c == 1
则，b1称为b模c的乘法逆元。

在ACM中，许多除法取模都要用到求逆元。
但是，逆元，为什么能给我们带来 ( a/b ) % c == ( a*b1 ) % c ？？？

（当然a/b要整除）

要知道，取模等式等价变形中，是没有除法的！！！

而推导式，还是没有用除法的地方！！！

我们用反证法证明：

若b*b1 % c == 1，则( a/b ) % c ！= ( a*b1 ) % c
若我们证明这一命题是错误的，我们目的就达到了。

令，a/b   == k1*c+y1
       a*b1 == k2*c+y2
原来的证明则变成了：若b*b1 % c == 1，则 y1!=y2


两式相减，有 a/b-a*b1 == (k1-k2)*c + (y1-y2)
设 k == k1-k2
     y == y1-y2
有，a/b-a*b1 == k*c + y
左右乘以b，有 a*(1-b*b1) == k*b*c + b*y
左右模上c，
左边 == a*(1-b*b1)%c
        == ( a*( 1%c - b*b1%c ) )%c
        == 0
右边 == (k*b*c + b*y)%c
        == b*y%c
因为a/b为整除，b显然不会是0，那么y必须是0，这与命题矛盾，证毕

p.s. 因为是自己证的，万一有错误，还望大牛指出。


为什么求逆元会用扩展欧几里得？

我们的目标，其实是解b*b1 % c == 1
令 b*b1 == k*c + 1
即 -k*c + b*b1 == 1
仔细观察，这个不就是扩展欧几里得嘛。

那么，为什么gcd(b,c)==1，才会有逆元变得简单了。
因为 1 % gcd(b,c) == 0 ，扩展欧几里得才有解，具体来说，gcd(b,c)只能为1