《图解算法》阅读15—动态规划

学习动态规划，他将问题分成小问题，并先着手解决这些小问题；学会设计问题的动态规划解决方案。

背包问题

回顾前面一小节的背包问题，假设一个小偷，背着一个可以装4磅东西的背包，如何盗窃使得商品的价值最高？

简单算法

尝试商品组合的全排列，找出价值最高的组合。这也是本人一直以来的思维方式，简单粗暴。恰好，上周的实习生面试，给自己敲响了警钟，这种完全不考虑运行时间和内存溢出的算法，在面试的过程中会被锤的很惨的。这样可行，但是运行的速度非常之慢！！！只要商品数量多到一定程度，这种算法就行不通。在第八章中，我们运用贪婪算法好到了近似解，但很可能不是最优解，这里我们进一步考虑，如何找到最优解呢？

动态规划

首先，我们明确动态规划的原理，先解决子问题，再逐步解决大问题。对于背包问题，先解决子背包问题，再解决大问题。

对于背包问题，每加入一个新的产品，需要进行考虑是否更新当前的背包。
可以偷商品的一部分吗？ 答案是不可以！使用动态规划，要不考虑拿走所有的商品，要不考虑不拿。拿走部分商品可以考虑采用贪婪算法。
动态规划功能强大，它能够解决子问题并使用这些答案来解决大问题。但仅当每个子问题都是离散的，即不依赖于其他子问题时，动态规划猜管用。

最大公共子串（非常重要）

通过前面的动态规划问题，我们得到了如下启示。

• 动态规划可以帮助我们找到在给定约束条件下最优解。在背包问题中，我们必须要在背包容量给定的情况下，偷到价值最高的商品。
• 在问题可分解为彼此独立且离散的子问题时，就可以使用动态规划来解决，但是要找到解决问题的动态规划方案往往很难。
• 每种动态规划解决方案都涉及网格。
• 单元格中的值通常就是要优化的值。单元格的值为上品的价值。
• 每个单元格都是一个子问题，因此应该考虑如何将问题分成子问题。

我们考虑如何应用动态规划解决求最大公共子串的问题？hish和vista都包含的最长子串是什么？

绘制单元格

• 单元格中的值是什么？
• 如何将这个问题划分为子问题？
• 网格中的坐标轴是什么？
  

填充网格

填充每个网格的单元格时，该使用什么样的公式呢？由于我们已经知道hish和fish的最长公共子串为ish，因此分析问题会相对简单一点。
我们知道在动态规划算法中，连接子问题和原问题的公式特别重要。这个时候可以使用费曼算法 ：将问题写下来，好好思考，将答案写下来。实际上，经过这一段时间的学习，我也渐渐领悟到作者在书中所说的，根本没有找出计算公式的简单办法，必须通过尝试才能找出管用的公式。有些算法并非精确的解决步骤，而只是帮助我们理清思路的框架。
自己想了好久，思路还不是很清晰，当看到书中提供的图片立即对算法豁然开朗。但是自己还是有一些疑问的。比如图中fish的第四个字母和hish的第一个字母是匹配的却没有标注为1，自己认为当匹配的字符串比较大的时候，是会出问题的。

最常公共子序列

寻找最长公共子序列的算法如下图所示。

动态规划的应用

• 生物学家根据最长公共序列来确定DNA链的相似性，进而判断两种动物或者疾病有多相似。
• git diff等命令指出两个文件的差异，也是使用动态规划实现的。
• 编辑距离指出了两个字符串的相似程度，也是使用动态规划计算得到的。编辑距离算法的用途很多，从拼写检查到判断用户上传的资料是否是盗版，都在其中。
• 使用诸如Microsoft Word等具有断字功能的应用程序，同样使用动态规划。

小结

• 需要在给定约束条件下优化某种指标时，动态规划很有用
• 问题可以分解为离散子问题时，可使用动态规划来解决
• 每种动态规划解决方案都涉及网格
• 单元格中的值通常就是要优化的值
• 每个单元格都是一个子问题，因此需要考虑如何将问题分解为子问题
• 没有放之四海皆准的计算动态规划解决方案的公式，需要自己思考再思考，一般找到问题和子问题之间的关系就好