算法设计与分析 —— 整数划分问题

问题描述

（1）正整数n划分为若干正整数之和，最大加数不超过m的划分数（n划分最大加数不超过m）

（2）正整数n划分为不超过m个正整数之和的划分数（n划分为m份）

（3）正整数n划分为若干正奇整数之和的划分数

（4）正整数n划分为互不相同正整数之和的划分数

其中，整数划分无顺序，比如对7划分，认为2 2 3和3 2 2和2 3 2为同一种划分。

算法思路

（1）问题1和问题2等价。

根据n和m的关系，考虑以下几种情况：

1. 当n=1时，不论m的值为多少（m>0)，只有一种划分即{1};

2. 当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,…,1};

3. 当n=m时，根据划分中是否包含n，可以分为两种情况：

   a.划分中包含n的情况，只有一个即{n}；

   b.划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。因此 f(n,m) =1 + f(n,n-1);

4. 当nf(n, m) =f(n,n);

5. 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：

   a. 划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,…xi}}, 其中{x1,x2,… xi} 的和为n-m，可能再次出现m，因此是(n-m)的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m);

   b.划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1)。因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

递推表达式如下：

$$f(n,m)=\{\begin{array}{llcccccc}1& n=1||m=1& & & & & & (1)和(2)\\ f(n,n)& n<m& & & & & & (3)\\ 1+f(n,n-1)& n=m& & & & & & (4)\\ f(n-m,m)+f(n,m-1)& n>m& & & & & & (5)\end{array}$$

（2）问题3。

对情况4和情况5进行修改：增加对奇偶数不同情况的分析

递推表达式如下：

$$f(n,m)=\{\begin{array}{llcccccc}1& n=1||m=1& & & & & & (1)和(2)\\ f(n,n)& n<m& & & & & & (3)\\ 1+f(n,n-1)& n=m，m\%2=1& & & & & & (4.1)\\ f(n,n-1)& n=m，m\%2=0& & & & & & (4.2)\\ f(n-m,m)+f(n,m-2)& n>m，m\%2=1& & & & & & (5.1)\\ f(n,m-1)& n>m，m\%2=0& & & & & & (5.2)\end{array}$$

（3）问题4

对情况2进行修改：当m=1时，不论n的值为多少，只有一种划分即n个1，{1,1,1,…,1}，但出现了重复，故划分失败。

对情况5的a进行修改：划分中包含m的情况，即{m, {x1,x2,…xi}}, 其中{x1,x2,… xi} 的和为n-m，不可能再次出现m，因此是(n-m)的m-1划分，因此这种划分个数为f(n-m, m-1);

递推表达式如下：
$$f(n,m)=\{\begin{array}{llcccccc}1& n=1& & & & & & (1)\\ 0& m=1\&\&n>1& & & & & & (2)\\ f(n,n)& n<m& & & & & & (3)\\ 1+f(n,n-1)& n=m& & & & & & (4)\\ f(n-m,m-1)+f(n,m-1)& n>m& & & & & & (5)\end{array}$$

其中，（1）和（2）是回归条件（即边界），（3）和（4）是特殊情况，将会转换为情况（5），（5）通过减小m以达到回归条件。

代码实现

#include 

using namespace std;

//正整数n划分为若干正整数之和，最大加数不超过m的划分数
int intergerDiv(int n,int m)
{
    if(n==1||m==1)
        return 1;
    else if(n<m)
        return intergerDiv(n,n);
    else if(n==m)
        return 1+intergerDiv(n,m-1);
    else //if(n>m)
        return intergerDiv(n-m,m)+intergerDiv(n,m-1);

}
//正整数n划分为若干正整数之和，最大加数不超过m的划分数，且m不重复
int notRepeteInterDiv(int n,int m)
{
    if(n==1)
        return 1;
    else if(m==1&&n>1)
        return 0;
    else if(n<m)
        return notRepeteInterDiv(n,n);
    else if(n==m)
        return 1+notRepeteInterDiv(n,m-1);
    else //if(n>m)
        return notRepeteInterDiv(n-m,m-1)+notRepeteInterDiv(n,m-1);

}

//正整数n划分为若干正整数之和，最大加数不超过m的划分数，m只能取奇数
int onlySingleInterDiv(int n,int m)
{
    if(n==1||m==1)
        return 1;
    else if(n<m)
        return onlySingleInterDiv(n,n);
    else if(n==m){
        if(m%2==1){//如果是奇数
            return 1+onlySingleInterDiv(n,m-1);
        }
        else{
            return onlySingleInterDiv(n,m-1);
        }
    }
    else{//if(n>m)
        if(m%2==1){//如果是奇数
            return onlySingleInterDiv(n-m,m)+onlySingleInterDiv(n,m-2);
        }
        else{
            return onlySingleInterDiv(n,m-1);
        }
    }


}
int main()
{
    int n,m;
    int num;
    cin>>n>>m;
    num=intergerDiv(n,m);
    cout<<num<<" ";//（1）正整数n划分为若干正整数之和，最大加数不超过m的划分数
    cout<<num<<" ";//（2）正整数n划分为不超过m个正整数之和的划分数

    num=onlySingleInterDiv(n,n);
    cout<<num<<" ";//（3）正整数n划分为若干正奇整数之和的划分数

    num=notRepeteInterDiv(n,n);
    cout<<num<<" ";//（4）正整数n划分为互不相同正整数之和的划分数


    return 0;
}