【Nim游戏】POJ2975[Nim]题解

题目概述

给出一个 Nim 游戏： n 堆石子，每堆石子 ai 个，求从初始状态到一个必胜态（对手必败）的方案数。

解题报告

太菜了……刚学 Nim 游戏……

Nim 游戏的简化模型就是 n 堆石子，每堆石子 ai 个，然后每次可以将一堆石子拿走若干个（不能不拿），游戏目的是拿光石子（对方无法操作）。

那么 Nim 游戏就有必胜态 W 和 必败态 L ，有以下性质：

1. 无法操作的状态是 L 。
2. 有一个子状态是 L 的状态是 W 。
3. 没有一个子状态是 L 的状态是 L 。

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那么怎么判断一个状态是 W 还是 L ？好像可以直接DP。但是 n 或 ai 一大就不行了。

可怕的地方来了……有一个定理：如果 ai 的异或和 Xor=0 ，那么就是 L ，否则就是 W 。怎么证明呢？其实只要三个性质能被体现出来就行了：

1. 当无法操作时， Xor 显然为 0 。
2. 当状态是 W 时， Xor>0 ，我们一定可以找到一个 ai ，满足 ai 在 Xor 的最高位上的数为 1 （二进制），这样 ai xor Xor<ai 且 (Xor xor ai) xor (ai xor Xor)=0 ，说明有一个子状态为 L 。
3. 当状态是 L 时， Xor=0 ，则不可能找到2中的 ai ，所以没有一个子状态为 L 。

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然而这道题更鬼畜一点，怎么求对手必败的方案数？我们来想，如果 Xor>0 ，那么我们就要想办法把 Xor 变成 0 ，所以我们枚举要拿的石子堆 i ，然后判断 Xor xor ai<ai 是否成立（ Xor xor ai 表示去掉 ai 的异或和， ai 要变成 Xor xor ai 才能使新 Xor 变为 0 ，但不能违反 Nim 游戏规则），如果成立，说明方案数 +1 。

示例程序

#include
using namespace std;
const int maxn=1000;

int n,a[maxn+5],nim,ans;

int main()
{
    freopen("program.in","r",stdin);
    freopen("program.out","w",stdout);
    for (scanf("%d",&n);n;scanf("%d",&n))
    {
        nim=0;for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),nim^=a[i];
        ans=0;for (int i=1;i<=n;i++) ans+=(nim^a[i])printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}