趣学算法系列-回溯法

趣学算法系列-回溯法

声明：本系列为趣学算法一书学习总结内容，在此推荐大家看这本算法书籍作为算法入门，
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第五章 回溯法

回溯法是一种选优搜索法，按照选优条件深度优先搜索，以达到目标。当搜索到某一步
时，发现原先选择并不是最优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走
的技术称为回溯法
回溯法是一种“ 能进则进，进不了则换，换不了则退”的搜索方法。
- 回溯法的算法要素
首先要确定解的形式，定义问题的解空间
解空间：顾名思义，就是由所有可能解组成的空间。解空间越小，搜索效率越高。
一个问题的解空间通常由很多可能解组成，一定的组织结构搜索最优解，
如果把这种组织结构用树形象地表达出来，就是解空间树。

隐约束指对能否得到问题的可行解或最优解做出的约束。如果不满足隐约束，
就说明得不到问题的可行解或最优解，那就没必要再沿着该结点的分支进行搜索了，
相当于把这个分支剪掉了
显约束可以控制解空间大小，隐约束是在搜索解空间过程中判定可行解或最优解的。
- 回溯法解题秘籍
（1）定义解空间 确定解空间包括解的组织形式和显约束(范围限定)
（2）确定解空间的组织结构 通常用解空间树形象的表达(只是辅助理解并不是真的树)
（3）搜索解空间 按照深度优先搜索，根据限制条件，搜索问题的解
- 回溯法的典型应用
        n皇后问题
        地图着色问题

• 实际案例分析-n皇后问题

• 问题描述
  

  在 n×n 的棋盘上放置彼此不受攻击的 n 个皇后。按照国际象棋的规则，皇后可以攻击与之在同一行、同一列、同一斜线上的棋子。设计算法在 n×n 的棋盘上放置 n 个皇后，使其彼此不受攻击
  

• 问题分析

  我们在第 i 行第 j 列放置一个皇后，那么第 i 行的其他位置（同行），那么第 j 列的其他位置（同列），同一斜线上的其他位置，都不能再放置皇后
  
  我们不可能杂乱无章地尝试每个位置，要有求解策略。我们可以以行为主导：
  在第 1 行第 1 列放置第 1 个皇后。
  在第 2 行放置第 2 个皇后。第 2 个皇后的位置不能和第1个皇后同列、同斜线，不用再判断是否同行了，因为我们每行只放置一个，本来就已经不同行。
  在第 3 行放置第 3 个皇后，第 3 个皇后的位置不能和前 2 个皇后同列、同斜线。
  ……
  在第 t 行放置第 t 个皇后，第 t 个皇后的位置不能和前 t−1 个皇后同列、同斜线。

• 算法设计

  （1）定义问题的解空间
  n 皇后问题解的形式为 n 元组： {x1， x2，…， xi，…， xn}，分量 xi 表示第 i 个皇后放置在第 i 行第 xi 列
  例如 x2=5，表示第 2 个皇后放置在第 2 行第 5列
  （2）解空间的组织结构
  n 皇后问题的解空间是一棵 m（ m=n）叉树，树的深度为 n，如图 5-68 所示。
  图不理解，请看树结构中连线的标注部分
  
  （3）搜索解空间
  限制条件
  在第 t 行放置第 t 个皇后时，第 t 个皇后的位置不能和前 t−1 个皇后同列、同斜线。第 i
  个皇后和第 j 个皇后不同列，即 xi!=xj，并且不同斜线|i−j| != |xi−xj|。
  看图分析(斜线规律)
  

• 完美图解
  

  为了简单明了，我们在 4× 4 的棋盘上放置 4个皇后，使其彼此不受攻击，如图 5-69 所示
  开始搜索第 1 层（t=1）
  扩展 1 号结点，首先判断 x1=1 是否满足约束条件，因为之前还未选中任何结点，满足
  约束条件。令 x[1]=1，生成 2 号结点
  
  扩展 2 号结点（ t=2）
  判断 x2=1 不满足约束条件，因为和之前放置的第 1 个皇后同列；考查 x2=2 也不满
  足约束条件，因为和之前放置的第 1 个皇后同斜线；考查 x2=3 满足约束条件令 x[2]=3，生成 3 号结点
  
  扩展 3 号结点（ t=3）
  首先判断 x3=1 不满足约束条件，因为和之前放置的第 1 个皇后同列；考查 x3=2 也不满足约
  束条件，因为和之前放置的第 2 个皇后同斜线；考查 x2=3 不满足约束条件，因为和之前放置的
  第 2 个皇后同列；考查 x3=4 也不满足约束条件，因为和之前放置的第 2 个皇后同斜线； 3 号结
  点的所有孩子均已考查完毕， 3 号结点成为死结点。向上回溯到 2 号结点
  
  后续过程略，直接看最终的结果图
  
  
  

• 伪代码详解

  （1）约束函数

  bool Place(int t) //判断第 t 个皇后能否放置在第 i 个位置
  {
  bool ok=true;
  for(int j=1;j//判断该位置的皇后是否与前面 t-1 个已经放置的皇后冲突
  {
  if(x[t]==x[j]||t-j==fabs(x[t]-x[j]))//判断列、对角线是否冲突
  {
  ok=false;
  break;
  }
  }
  return ok;
  }

  （2）按约束条件搜索求解

  void Backtrack(int t)
  {
  if(t>n) //如果当前位置为 n,则表示已经找到了问题的一个解
  {
  countn++;
  for(int i=1; i<=n;i++) //打印选择的路径
  cout<" ";
  cout<cout<<"----------"<else
  for(int i=1;i<=n;i++) //分别判断 n 个分支,特别注意 i 不要定义为全局变量,否则
  递归调用有问题
  {
  x[t]=i;
  if(Place(t))
  Backtrack(t+1); //如果不冲突的话进行下一行的搜索
  }
  }

• 实战演练
  

  //program 5-4
  
  #include 
  
  
  #include //求绝对值函数需要引入该头文件
  
  
  #define M 105
  
  using namespace std;
  int n; //n 表示 n 个皇后
  int x[M]; //x[i]表示第 i 个皇后放置在第 i 行第 x[i]列
  int countn; //countn 表示 n 皇后问题可行解的个数
  bool Place(int t) //判断第 t 个皇后能否放置在第 i 个位置
  {
  bool ok=true;
  for(int j=1;j//判断该位置的皇后是否与前面 t-1 个已经放置的皇后冲突
  {
  if(x[t]==x[j]||t-j==fabs(x[t]-x[j]))//判断列、对角线是否冲突
  {
  ok=false;
  break;
  }
  }
  return ok;
  }
  void Backtrack(int t)
  {
  if(t>n) //如果当前位置为 n,则表示已经找到了问题的一个解
  {
  countn++;
  for(int i=1; i<=n;i++) //打印选择的路径
  cout<" ";
  cout<cout<<"----------"<else
  for(int i=1;i<=n;i++) //分别判断 n 个分支,特别注意 i 不要定义为全局变量,否则
  递归调用有问题
  {
  x[t]=i;
  if(Place(t))
  Backtrack(t+1); //如果不冲突的话进行下一行的搜索
  }
  }
  int main()
  {
  cout<<"请输入皇后的个数 n： ";
  cin>>n;
  countn=0;
  Backtrack(1);
  cout <<"答案的个数是： "<return 0;
  }

算法时间复杂度分析

（1）时间复杂度在最坏情况下回搜索到每一个叶子结点， 叶子个数为 n的n次方， 故耗时为 O(n^n)。仅为估算并不准确
（2）空间复杂度：使用 x[]数组记录该最长路径作为可行解，所以该算法的空间复杂度为 O(n)。

算法优化方向
解决方案的解空间树 此题解空间我们使用了不同行作为显约束。隐约束为不同列、不同斜线。

上边的方面时间复杂度的复杂主要是由于解空间的结构复杂，如何有更好的思路优化解空间？
如果我们把显约束定为不同行、不同列，隐约束不同斜线，那解空间是怎样的呢？

如此对比解空间的大小缩小了很多，合理分析限制条件可以得到更好的解决方案。