（1）线性空间基本概念

1.线性空间的定义：给定非空集合V和域F，若存在映射σ：V x V -> V 【(V1,V2) |-> σ（V1,V2）】 ,则称σ为V上的加法

注释：

• 数域：设F是一个含有0和1的数集。如果F对于数的四则运算都封闭，那么称系统（F；+，－，×，÷）为一个数域。 例如有理数Q是一个域，但是非负整数Z+就不是域（它不满足除法和减法）

• V x V中 x 的含义：集合乘法，笛卡尔积（又叫卡氏积）【即，A×B = {(x,y)|x∈A∧y∈B}】
• 【x|→y=T(x)】  代表的是映射

2.线性空间的运算规则

• 加法
  • 交换律：V1+V2=V2+V1
  • 结合律：（V1+V2）+V3=V1+(V2+V3)
  • 加法的有零元：存在e∈V , 满足 e+V=V
  • 加法的有负元：对任意v∈V,存在a∈V 使得 v+a =e ，记 a=-v
•  数乘（k,l均为数）
  • 分配律1：(V1+V2)·k=V1·k+V2·k 
  • 分配律2：V·(k1+k2)=V·k1+V·k2

  • 分配律3：V·(kl)=(V·k)·l   【注：V·(kl) 和 (V·k)·l 是不一样的，V·(kl) 只包含了一个数乘，但是 (V·k)·l  包含的是两个数乘，数乘和普通数的乘法是不一样的】

  • 数域F与1的关系：V ·1=V
  • 注：数乘法的数字最好写右边，因为，数字放右边的话，单独的那个数可以视作1x1的矩阵，如下：

例1：

例2：