实变函数笔记-勒贝格积分
【参考资料】
【1】《实变函数与泛函分析基础》
【2】陶哲轩 《实分析》
非负简单函数
定义: 设f(x)的定义域E可分为有限个互不相交的可测集 E 1 , E 2 , . . . , E s E_1, E_2, ... , E_s E1,E2,...,Es,有 E = ⋃ i = 1 s E i E = \bigcup\limits_{i=1}^{s}E_i E=i=1⋃sEi,使f(x)在每个 E i E_i Ei上都等于某常数 c i c_i ci，则称f(x)为简单函数。
定义: 设 E ⊆ R q E \subseteq R^q E⊆Rq为可测集， ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)为E上的一个非负简单函数，即E为有限个互不相交的可测集 E 1 , E 2 , . . . , E s E_1, E_2, ... , E_s E1,E2,...,Es之并，则有: ϕ ( x ) = ∑ i = 1 k c i X E i ( x ) \phi(x) = \sum\limits_{i=1}^{k}c_i X_{E_i}(x) ϕ(x)=i=1∑kciXEi(x), X E i ( x ) X_{E_i}(x) XEi(x)是 E i E_i Ei上的特征函数。
举例:
D ( x ) = { 1 , x ∈ Q 0 , x ∈ Q c D(x) = \begin{cases} 1, & x \in Q \\ 0, & x \in Q^c \end{cases} D(x)={1,0,x∈Qx∈Qc
则 ∫ R D ( x ) d x = 1 ⋅ m Q + 0 ⋅ m Q c = 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ + ∞ = 0 \int_{R}D(x)dx = 1 \cdot mQ + 0 \cdot mQ^c = 1 \cdot 0 + 0 \cdot +\infty = 0 ∫RD(x)dx=1⋅mQ+0⋅mQc=1⋅0+0⋅+∞=0
非负可测函数
定义: 设 E ⊆ R q E \subseteq R^q E⊆Rq为可测集,f(x)是E上的一个非负可测函数，f(x)在E上的勒贝格积分定义为 ∫ E f ( x ) d x = s u p { ∫ E ϕ ( x ) d x : \int_Ef(x)dx = sup \{\int_E \phi(x)dx: ∫Ef(x)dx=sup{∫Eϕ(x)dx: ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x)是E上的非负简单函数，且 x ∈ E , 0 ≤ ϕ ( x ) ≤ f ( x ) } x \in E ,0 \le \phi(x) \le f(x)\} x∈E,0≤ϕ(x)≤f(x)}
即对非负函数而言，其积分是小于它的简单函数的积分取最大值。
一般可测函数
定义: 设 E ⊆ R q E \subseteq R^q E⊆Rq为可测集，f(x)为E上的可测函数，定义它的正部和负部如下：
f + ( x ) = m a x ( f ( x ) , 0 ) f^+(x)=max(f(x),0) f+(x)=max(f(x),0)和 f − ( x ) = − m i n ( f ( x ) , 0 ) f^-(x)=-min(f(x),0) f−(x)=−min(f(x),0)
可知 f + f^+ f+和 f − f^- f−都是非负可测函数，同时有：
f = f + − f − f = f^+ - f^- f=f+−f−以及 ∣ f ∣ = f + + f − |f|=f^+ + f^- ∣f∣=f++f−
若 f + f^+ f+或 f − f^- f−有一个有限，则称f在E上积分确定，即f在E上的勒贝格积分为 ∫ E f + ( x ) d x − ∫ E f − ( x ) d x \int_E f^+(x)dx - \int_E f^-(x)dx ∫Ef+(x)dx−∫Ef−(x)dx
备注: 在非负可测函数和一般可测函数的勒贝格积分章节，并不讨论具体积分的求值，而是探讨其积分具备的公理，如线性、可数可加性等等，本次不作赘述。
与黎曼积分的比较
定理: 设f(x)在[a, b]上的一个有界函数，若f(x)在[a,b]上R可积，则f(x)在[a, b]上L可积，且:
( L ) ∫ [ a , b ] f ( x ) d x = ( R ) ∫ a b f ( x ) d x (L)\int_{[a,b]}f(x)dx = (R)\int_a^bf(x)dx (L)∫[a,b]f(x)dx=(R)∫abf(x)dx