无损连接和模式分解题型

一、判别一个分解的无损连接性

方法一：无损连接定理

关系模式R(U，F)的一个分解ρ={R1,R2}具有无损连接的充分必要条件是：

U1∩U2→U1-U2 €F+ 或U1∩U2→U2 -U1€F+

方法二：算法

ρ={R1,R2,...,Rk}是关系模式R的一个分解，U={A1,A2,...,An}，F={FD1,FD2,...,FDp}，并设F是一个最小依赖集，记FDi为Xi→Alj，其步骤如下：

① 建立一张n列k行的表，每一列对应一个属性，每一行对应分解中的一个关系模式。若属性Aj属于Ui，则在j列i行上填上aj，否则填上bij；

② 对于每一个FDi做如下操作：找到Xi所对应的列中具有相同符号的那些行。考察这些行中i列的元素，若其中有aj，则全部改为aj，否则全部改为bmi，m是这些行的行号最小值。

如果在某次更改后，有一行成为：a1,a2,...,an，则算法终止。且分解ρ具有无损连接性，否则不具有无损连接性。

对F中p个FD逐一进行一次这样的处理，称为对F的一次扫描。

③ 比较扫描前后，表有无变化，如有变化，则返回第② 步，否则算法终止。如果发生循环，那么前次扫描至少应使该表减少一个符号，表中符号有限，因此，循环必然终止。

举例1：已知R，U={A,B,C}，F={A→B}，如下的两个分解：

① ρ1={AB,BC}

② ρ2={AB,AC}

判断这两个分解是否具有无损连接性。

①因为AB∩BC=B，AB-BC=A，BC-AB=C

所以B→A ¢F+，B→C ¢ F+，故ρ1是有损连接。

② 因为AB∩AC=A，AB-AC=B，AC-AB=C

所以A→B €F+，A→C ¢F+，故ρ2是无损连接。

举例2：已知R，U={A,B,C,D,E}，F={A→C,B→C,C→D,DE→C,CE→A}，R的一个分解为R1(AD)，R2(AB)，R3(BE)，R4(CDE)，R5(AE)，判断这个分解是否具有无损连接性。

 ① 构造一个初始的二维表，若“属性”属于“模式”中的属性，则填aj，否则填bij

② 根据A→C，对上表进行处理，由于属性列A上第1、2、5行相同均为a1，所以将属性列C上的b13、b23、b53改为同一个符号b13（取行号最小值）。

③ 根据B→C，对上表进行处理，由于属性列B上第2、3行相同均为a2，所以将属性列C上的b13、b33改为同一个符号b13（取行号最小值）。

④ 根据C→D，对上表进行处理，由于属性列C上第1、2、3、5行相同均为b13，所以将属性列D上的值均改为同一个符号a4。

⑤ 根据DE→C，对上表进行处理，由于属性列DE上第3、4、5行相同均为a4a5，所以将属性列C上的值均改为同一个符号a3。

⑥ 根据CE→A，对上表进行处理，由于属性列CE上第3、4、5行相同均为a3a5，所以将属性列A上的值均改为同一个符号a1。

⑦ 通过上述的修改，使第三行成为a1a2a3a4a5，则算法终止。且分解具有无损连接性。

二、模式分解

1.达到BCNF无损连接分解算法

例：关系模式R，其中：U={A,B,C,D,E}，F={A→C,C→D,B→C,DE→C,CE→A}，将其分解成BCNF并保持无损连接。
      解：
      ① 令ρ={R(U,F)}。
      ② ρ中不是所有的模式都是BCNF，转入下一步。
      ③ 分解R：

• R上的候选码为BE（因为所有函数依赖的右边没有BE）。
• 考虑A→C函数依赖不满足BCNF条件（因A不包含候选码BE），将其分解成R1(AC)、R2(ABDE)。
• 计算R1和R2的最小函数依赖集分别为：F1={A→C}，F2={B→D,DE→D,BE→A}。其中B→D是由于R2中没有属性C且B→C,C→D；DE→D是由于R2中没有属性C且DE→C,C→D；BE→A是由于R2中没有属性C且B→C,CE→A。又由于DE→D是蕴含关系，可以去掉，故F2={B→D,BE→A}。

      分解R2：R2上的候选码为BE。考虑B→D函数依赖不满足BCNF条件，将其分解成R21(BD)、R22(ABE)。计算R21和R22的最小函数依赖集分别为：F21={B→D}，F22={BE→A}。
      由于R22上的候选码为BE，而F22中的所有函数依赖满足BCNF条件。故R可以分解为无损连接性的BCNF

       如：ρ={R1(AC),R21(BD),R22(ABE)}

2.达到3NF且保持函数依赖的分解 

例：关系模式R，其中U={C,T,H,I,S,G}，F={CS→G,C→T,TH→I,HI→C,HS→I}，将其分解成3NF并保持函数依赖。

(一)计算F的最小函数依赖集

① 利用分解规则，将所有的函数依赖变成右边都是单个属性的函数依赖。由于F的所有函数依赖的右边都是单个属性，故不用分解。    ——单属性化

② 去掉F中多余的函数依赖                 ——无冗余化

A．设CS→G为冗余的函数依赖，则去掉CS→G，得：

F1={C→T,TH→I,HI→C,HS→I}

计算(CS)F1+：

设X(0)=CS

计算X(1)：扫描F1中各个函数依赖，找到左部为CS或CS子集的函数依赖，找到一个C→T函数依赖。故有X(1)=X(0)∪T=CST。

计算X(2)：扫描F1中的各个函数依赖，找到左部为CST或CST子集的函数依赖，没有找到任何函数依赖。故有X(2)=X(1)。算法终止。

(CS)F1+= CST不包含G，故CS→G不是冗余的函数依赖，不能从F1中去掉。

B．设C→T为冗余的函数依赖，则去掉C→T，得：

F2={CS→G,TH→I,HI→C,HS→I}

计算(C)F2+：

设X(0)=C

计算X(1)：扫描F2中的各个函数依赖，没有找到左部为C的函数依赖。故有X(1)=X(0)。算法终止。故C→T不是冗余的函数依赖，不能从F2中去掉。

同理可判断TH→I，HI→C，HS→是不是冗余的函数依赖

③ 去掉F5中各函数依赖左边多余的属性（只检查左部不是单个属性的函数依赖）——既约化

没有发现左边有多余属性的函数依赖。举例：CS→G 去掉C得到S→G这是无法由后面的依赖推出的，同理去掉S，同样的方法对其他所有的函数依赖进行检验

故最小函数依赖集为：F={CS→G,C→T,TH→I,HI→C,HS→I}

(二)由于R中的所有属性均在F中都出现，所以转下一步。

如果R中存在一些不在Fm中出现的属性，将它们单独构成一个关系模式，并从U中去掉它们

举例： U={C,T,H,R,S,G}，F={CS→G}
由于T,H,R没有在F中出现，于是将R1={THP}作为一个分解关系

(三)对F按具有相同左部的原则分为：R1=CSG，R2=CT，R3=THI，R4=HIC，R5=HSI。所以ρ={R1(CSG),R2(CT),R3(THI),R4(HIC),R5(HSI)}。

相同左部分的原则：

对于F中的每一个函数依赖X→A,构造一个关系模式XA.如果X→A1，X→A2····X→An均属于F，则构造一个关系模式XA1A2····An

举例：C→T ,C→A是相同的左部，则将二者合并为一个关系C→AT

3.达到3NF且同时保持无损连接与函数依赖的分解 

 

综合题：