Mr. HLW
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softmax做激活函数，crossentropy做损失函数时softmax的求导问题

首先crossentropy的定义为

softmax的直观定义（摘于李宏毅教授主页http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses.html）

softmax做激活函数，crossentropy做损失函数时softmax的求导问题_第1张图片

softmax做激活函数，crossentropy做损失函数时softmax的求导问题_第2张图片

softmax它将多个神经元的输出，映射到（0,1）区间内，可以看成概率来理解，从而来进行多分类！以手写数字图像识别为例。softmax输出的是一个十维的vector，比如待识别的数字是2，则我们希望的是在索引为2处的值最大，此时y可能是\begin{bmatrix} 0.02\\ 0.05\\ 0.8\\ 0.01\\ 0.01\\ 0.03\\ 0.01\\ 0.02\\ 0.05\\ \end{bmatrix}而y_hat为

\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix}，虽然Loss是求和的形式，但由于y_hat中只有一个数字为1，其他都为0,所以Loss其实是等于 -Iny_{r} (r是y_hat中1的索引)

在Backpropagation中我们需要求\LARGE ^{\frac{\partial C}{\partial z^L}}，其中\LARGE z^L为[ Z^L_{1},Z^L_{2}... Z^L_{10} ]，分别对10个变量求偏导即可，对Z^L_{i}求偏导需要分i=r与i≠r两种情况 \LARGE \fn_cm \LARGE ^{\frac{\partial C}{\partial z^L_{i}}} = ^{\frac{\partial C}{\partial y_{r}}}*^{\frac{\partial y_{r}}{\partial z^L_{i}}}  

softmax做激活函数，crossentropy做损失函数时softmax的求导问题_第3张图片

1）当i=r时( 注：此时yr的分子分母都含有Z^L_{i}项,且此时y_hat为1)

softmax做激活函数，crossentropy做损失函数时softmax的求导问题_第4张图片

2)i≠r时 ( 注：此时yr的只有分母都含有Z^L_{i}项)

softmax做激活函数，crossentropy做损失函数时softmax的求导问题_第5张图片

 

 

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