【机器学习】线性回归的梯度下降法

摘要：这是我学习斯坦福大学《机器学习》课程的第一个算法。该算法属于回归模型中最简单的模型——线性回归，使用梯度下降法达到最优拟合。

课程中对机器学习的定义是：Field of study that gives computers the ability to learn without being explicitly programmed.字面意思为不通过显式编程赋予计算机学习的能力。课程开始阐明了监督学习(supervise learning)包含两种问题：回归(regression)和分类(classification)。两种问题都是输入X到输出Y的映射。关于“监督”的含义，简单地说，就是输入和输出数据都已经给出。这类问题的任务是，我们需要从这些输入输出数据中提取一个模式，使得我们有一个新的输入x0时，可以从这个模式中预测输出y0.

一、问题引入

课程使用房屋价格和房屋面积的关系的例子作为引入。

房价2万左右吧，类似广州的房价（这个数据只是我自己编的）。根据数据表我们可以作出散点图如下：

假如我们看中的房子，面积不在这个列表中，如何估计这间房子的价格呢？我们可以作一个平滑曲线尽可能去拟合所有散点。本例阐明线性回归，于是可用一条直线去拟合：

当我们有新的输入x0时，便有预测输出y0。这是高中生都知道的回归分析。
我们可以把具体的问题抽象出来：
房屋销售表：训练集(training set)，是回归分析中的输入数据，用x表示；
房屋销售价格：输出数据，用y表示；
拟合的函数：y=h(x)，输出模型。
本例输入数据是二维的，而输出是一维模型。其实线性回归可以处理多维的数据。由此可知，回归分析的输出必定是一个连续的模型。

二、问题分析
房屋面积只是影响房屋价格的因素之一，还有其他因素(诸如，地段、环境等)可独立地同时影响房价，把这些因素都提取出来，称为特征变量x，该变量是一个向量，即x=[x0, x1, x2, … , xn].
我们可以假设一个估计函数：

其中θ为特征参数，该参数的大小决定了特征变量xi对估计的影响有多大。用向量形式表示为：

为了达到最好的拟合效果，必须有一个函数去衡量输出模型的拟合效果。一般把这个函数定义为损失函数(loss function)，以下我们称这个函数为J函数：

这个损失函数是对估计值与真实值的差的平方进行估计，前面的1/2是为了消去求导时的系数。之后我们要做的就是使拟合的损失最小，即最小化J函数时取得的θ值便是我们理想中的参数。

三、梯度下降法
梯度下降法的主要流程是：
1. 首先对θ赋值，这个值是随机的，也可以赋值为一个零向量；
2. 改变θ的值，使得J函数往下降最快的方向减少，直至函数收敛。
其中梯度方向由J(θ)对θ的偏导数确定。计算过程省略，计算结果为：

此算法不断迭代更新θ的值，直到函数收敛为止。其中α是学习因子，其实就是表征下降的速度，α越大，函数下降越快，收敛越快。一般是一个很小数值。迭代其实就是循环，我们不可能永远循环下去，需要一个循环结束条件。循环终止条件有很多种，我们可以把迭代差分小于一个ε值作为结束条件，即：

四、Matlab代码实现

% load data
heart_scale = load('../heart_scale');
X = heart_scale.heart_scale_inst;
Y = heart_scale.heart_scale_label;

epsilon = 0.0005;
alpha= 0.0001;

theta_old = zeros(size(X,2),1);

i = 1;
figure(1);
while 1
    minJ_theta(i) = 1/2 * (norm(X * theta_old - Y))^2;  % J函数
    theta_new = theta_old - alpha * (X'* X * theta_old - X'* Y);    % 迭代求θ
    fprintf('The %dth iteration, minJ_theta = %f, \n', i, minJ_theta(i));
    if norm(theta_new - theta_old) < epsilon     % 迭代终止条件
        theta_best = theta_new;
        break;
    end
    theta_old = theta_new;
    i = i + 1;
end

plot(minJ_theta);
fprintf('The best theta is %f\n', theta_best);

其中heart_scale来源于libsvm数据包，heart_scale_inst包括270个13维的样本，heart_scale_label都是+-1.

运行效果如下：


有时间还想用Python去实现一把，等待更新吧！