NP完全问题作业

8.9 In the HITTING SET problem, we are given a family of sets {S1, S2, ..., Sn} and a budget b, and we wish to find a set H of size <= b which intersects every Si, if such an H exists. In other words, we wants H ∩ Si ≠ ∅ for all i.

      Show that HITTING SET is NP-complete.

证明：

      （1）首先证明HITTING SET是NP问题，要验证H是否符合题意要求，只需判断H的大小是否小于等于b以及H与每个子集Si是否相交，所需的时间复杂度为O(nHS)，其中H代表集合H的大小，S代表子集Si大小的最大值。因此，该问题可以在多项式时间内验证，即HITTING SET是NP问题。

      （2）证明HITTING SET为NP完全问题，可以将最小顶点覆盖问题归约成HITTING SET问题。

       构建一个图G(V, E)到HITTING SET的映射：G中的每个顶点对应HITTING SET中的每个元素，G中的每一条边对应HITTING SET的每一个子集Si。由此可知，所求最小顶点覆盖的集合即对应HITTING SET所求的H，因为最小顶点覆盖的集合中至少包含图G每一条边的一个顶点，即这样对应的H满足对所有的子集Si都有H ∩ Si ≠ ∅。同时，最小顶点覆盖集合的大小对应H的大小，若前者满足小于等于b，则H的大小也满足。因此，最小顶点覆盖问题可以归约到HITTING SET问题。故HITTING SET问题是NP完全问题。