快速沃尔什变换FWT

大概在做CC月赛的时候看到了这样一道题：https://www.codechef.com/OCT17/problems/XORTREEH
题意是要你做一个%330301441的类似FWT的东西。定义数组A，B，C。定义一个操作 A⊕B=C

C[i]=∑u∑vA[u]B[v]  |  u,v在k进制下不进位的和为i  其中k=2,3,4,...,9,10

要你求一个 P=A⊕A⊕...⊕AX个A
当k=2时，这是一个异或规则的FWT。
接下来考虑k=2的情况。假设ABC长度为2的幂次，用 Ai 表示最高位为i的一段A。

那么C0=A0⊕B0+A1⊕B1C1=A0⊕B1+A1⊕B0换一种表示方法：(C0,C1)=(A0⊕B0+A1⊕B1,A0⊕B1+A1⊕B0)

然后就在这里卡住了。。

然后去网上搜FWT，又听某dalao讲了，大概知道了一些思路。
构造一个 trans(A)=(trans(A0+A1),trans(A0−A1)) ，以及逆变换 trans′(A)=(trans′(A0+A12),trans′(A0−A12)) 。
然后有

trans(C)=trans(A)×trans(B)

这里的 A×B=C 代表 C[i]=A[i]B[i] 。
所以C=A⊕B=trans′(trans(C))=trans′(trans(A)×trans(B))
然后如果是多个相乘就是

D=A⊕B⊕C=trans′(trans(A)×trans(B)×trans(C))

这里的 trans 和 trans′ 操作都可以在 O(nlogn) 的时间内完成，所以总复杂度为 O(nlogn) 。

然后考虑k更大的情况，根据刚才的方法，我们需要一个能够在较低复杂度内实现的 transk 和他的逆变换 trans′k 。

进行一些枚举，可以构造 trans(A)=(trans(A0+A1+A2),trans(A0+wA1+w2A2),trans(A0+w2A1+w4A2)) 。其中 w3=1 。

这时发现这个模数很牛逼啊，他保证了我存在 w 使 wk=1 。

然后推广一波，好像很棒啊！复杂度大概是 O(knlogkn) ?