[GXOI/GZOI2019]与或和[单调栈]

也许更好的阅读体验

$\mathcal{D}escription$

给出一个 $n\times n$ 的, 元素为自然数的矩阵.
这个矩阵有许许多多个子矩阵, 定义它的所有子矩阵形成的集合为 $S$ .
对于一个矩阵 $k$ , 定义 $f(k)$ 为 $k$ 中所有元素的 $AND$ 值 (按位与).
对于一个矩阵 $k$ , 定义 $g(k)$ 为 $k$ 中所有元素的 $OR$ 值 (按位或).
请求出所有子矩阵的 $f(k)$ 之和与所有子矩阵的 $g(k)$ 之和, 即 $\begin{array}{r}\sum _{k\in S}f(k)\end{array}$ 与$\begin{array}{r}\sum _{k\in S}g(k)\end{array}$
由于答案可能很大, 只需要输出答案对$1e9+7$取模的结果.

$n\le 1000,$矩阵中每个元素大小在$int$范围内

$\mathcal{S}olution$

对于有位运算操作的题目，计算贡献时首先考虑的方法就是按位计算贡献
因为某一位的贡献是不会受到其他位影响的，而整体计算因为位运算的特殊性，还是会考虑到按位计算

我们枚举每一位$k$，然后把矩阵换成$0/1$矩阵，其中$0$元素表示原本矩阵中这一元素在枚举到的这位二进制表示下为$0$，为$1$则为$1$
考虑这个$0/1$矩阵中有多少个子矩阵会被计算贡献，最后把这个数乘以$2^k$

对于与运算，就是要求里面有多少个全$1$矩阵
对于或运算，就是要求里面有多少个有$1$矩阵

与运算和或运算实际上可以互相转换
全$1$矩阵数=所有矩阵数-有$0$矩阵数
有$1$矩阵数=所有矩阵数-全$0$矩阵数

设$all$为$n\times n$的矩阵所包含的所有子矩阵
显然$all=(\frac{n(n+1)}{2}{)}^2$

之后考虑怎么计算满足条件的矩阵个数

$55$分解法 $O(lo{g}_{2}n\cdot n^3)$
考虑枚举矩阵的上边界，下边界
我们计算在这样的矩阵中满足要求的个数
有$1$矩阵显然容易做些
考虑枚举以一个矩阵中最左边的$1$出现位置
这样可以不重不漏全部计算
显然，只要包含了这个有$1$的一列，当前范围内所有矩阵都是合法的
注意不要和上一个有$1$的那列重复了

用$sum[i][j]$表示第$j$列到第$i$个位置共有多少$1$
只要$sum[下边界][当前列]-sum[上边界-1][当前列]>0$就说明这一列有$1$
其他的很简单，具体的过会儿看代码吧

$100$分解法 $O(lo{g}_{2}n\cdot n^2)$

考虑枚举矩阵的下边界
计算全$1$矩阵
用$f[i][j]$表示第$j$列，从$i$开始往上有多少个连续的$1$
然后枚举到哪一列了，用$cnt$表示每次会增加多少个矩阵
用单调栈维护一下即可

$\mathcal{C}ode$

$55$分
试图卡常碰运气版

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年09月10日 星期二 14时17分44秒
*******************************/
#include 
#include 
#include 
#define rint register int
using namespace std;
const int maxn = 1003;
const int mod = 1000000007;
//{{{cin
struct IO{
	template<typename T>
	IO & operator>>(T&res){
		res=0;
		bool flag=false;
		char ch;
		while((ch=getchar())>'9'||ch<'0')	flag|=ch=='-';
		while(ch>='0'&&ch<='9')	res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
		if (flag)	res=~res+1;
		return *this;
	}
}cin;
//}}}
int n,mx,all,ans1,ans2;
int lt[maxn],up[maxn];
int a[maxn][maxn],sum[maxn][maxn];
bool hav[maxn];
bool b[maxn][maxn];
//{{{calc
inline int calc (int mi,bool opt)
{
	int res=0;
	for (rint i=1;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=n;++j){
			b[i][j]=(a[i][j]&mi);
			b[i][j]^=opt;
			sum[i][j]=sum[i-1][j]+b[i][j];
		}
	for (rint i=1;i<=n;++i)//上边界
		for (rint j=i;j<=n;++j){//下边界
			int last=0;
			for (rint k=1;k<=n;++k)//第一个1
				if (sum[j][k]-sum[i-1][k])	res=(res+(k-last)*(n-k+1))%mod,last=k;
		}
	return res;
}
//}}}
int main()
{
	cin>>n;
	for (rint i=1;i<=n;++i)
		for (rint j=1;j<=n;++j)
			cin>>a[i][j],mx=max(mx,a[i][j]);
	all=n*(n+1)/2%mod;
	all=1ll*all*all%mod;
	for (rint k=0;k<=31;++k){
		int t=1<<k;
		if (t>mx)	break;
		int num=calc(t,1);
		num=(all-num+mod)%mod;
		ans1=(ans1+1ll*num*t%mod)%mod;
		num=calc(1<<k,0);
		ans2=(ans2+1ll*num*t%mod)%mod;
	}
	printf("%d %d\n",ans1,ans2);
	return 0;
}

$100$分

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年09月10日 星期二 14时17分44秒
*******************************/
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int maxn = 1003;
const int mod = 1000000007;
//{{{cin
struct IO{
	template<typename T>
	IO & operator>>(T&res){
		res=0;
		bool flag=false;
		char ch;
		while((ch=getchar())>'9'||ch<'0')	flag|=ch=='-';
		while(ch>='0'&&ch<='9')	res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
		if (flag)	res=~res+1;
		return *this;
	}
}cin;
//}}}
int n,mx,all,ans1,ans2;
int stk[maxn];
int a[maxn][maxn],f[maxn][maxn];
bool b[maxn][maxn];
//{{{calc
inline int calc (int mi,bool opt)
{
	int res=0;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=n;++j){
			b[i][j]=(a[i][j]&mi);
			b[i][j]^=opt;
			f[i][j]=b[i][j]?f[i-1][j]+1:0;
		}
	for (int i=1;i<=n;++i){
		int cnt=0,top=0;
		for (int j=1;j<=n;++j){
			cnt+=f[i][j];
			while (top&&f[i][stk[top]]>f[i][j])	cnt-=(stk[top]-stk[top-1])*(f[i][stk[top]]-f[i][j]),--top;
			res=(res+cnt)%mod;
			stk[++top]=j;
		}
	}
	return res;
}
//}}}
int main()
{
	cin>>n;
	for (int i=1;i<=n;++i)
		for (int j=1;j<=n;++j)
			cin>>a[i][j],mx=max(mx,a[i][j]);
	all=n*(n+1)/2%mod;
	all=1ll*all*all%mod;
	for (int k=0;k<=31;++k){
		int t=1<<k;
		if (t>mx)	break;
		int num=calc(t,0);
		ans1=(ans1+1ll*num*t%mod)%mod;
		num=calc(1<<k,1);
		num=(all-num+mod)%mod;
		ans2=(ans2+1ll*num*t%mod)%mod;
	}
	printf("%d %d\n",ans1,ans2);
	return 0;
}

如有哪里讲得不是很明白或是有错误，欢迎指正
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