欧拉函数|(扩展)欧拉定理|欧拉反演

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欧拉函数

• 定义
  欧拉函数是 小于等于 x的数中与x 互质 的数的 数目
  符号$\phi (x)$
  互质 两个互质的数的最大公因数等于1,1与任何数互质

• 通式
  $\phi (x)=x{\prod }_{i=1}^n(1-\frac{1}{p_i})$
  其中$p_i$为$x$的质因子,$n$为$x$的因子个数

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欧拉函数常用性质

• 若$n$为质数，显然$\phi (n)=n-1$
  \begin{aligned}\end{aligned}

• 欧拉函数是积性函数
  积性函数: 对于任意 互质 的整数$a$和$b$有性质$f(ab)=f(a)\cdot f(b)$的数论函数。
  若$m,n$互质，$\phi (mn)=\phi (m)\cdot \phi (n)$
  \begin{aligned}\end{aligned}

• 如果$x=2n$($n$为奇数)，$\phi (x)=\phi (n)$ 即$\phi (2n)=\phi (n)$($n$为奇数)
  n为奇数时,n与2互质，$\phi (2)=1$
  \begin{aligned}\end{aligned}

• 若$p$为质数,则$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$
  因为与$p^k$不互质的只有$p$的倍数，而$p^k$中$p$的倍数有$p^{k-1}$个
  \begin{aligned}\end{aligned}

• 当$x>2$时，$\phi (x)$为偶数
  这一点需要了解更相减损术 即$gcd(n,x)=gcd(n,n-x)$
  由该公式我们可以知道，所有与$n$互质的数都是成对出现的
  \begin{aligned}\end{aligned}

• 小于n的数中，与n互质的数的总和为$\phi (n)\ast n/2(n>1)$
  由上面的证明(更相减损术)我们知道，每一对与$n$互质的数的和为$n$，共有$\phi (n)/2$对
  \begin{aligned}\end{aligned}

• $n={\sum }_{d|n}\phi (d)$即$n$的因数$($包括$1$和它自己$)$的欧拉函数之和等于$n$
  这条性质的运用又叫 欧拉反演
  定义函数
  $\begin{array}{r}f(n)=\sum _{d|n}\phi (d)\end{array}$

  • $f(n)$为积性函数
    $\begin{array}{r}f(n)\cdot f(m)=\sum _{i|n}\phi (i)\sum _{j|m}\phi (j)=\sum _{i|n}\sum _{j|m}\phi (i)\cdot \phi (j)=\sum _{i|n}\sum _{j|m}\phi (i\cdot j)=\sum _{d|nm}\phi (d)=f(nm)\end{array}$

  $f(p^k)=\phi (1)+\phi (p)+\phi (p^2)+\cdots +\phi (p^k)=1+(p-1)+(p^2-p)+\cdots +(p^k-p^{k-1})=p^k$

  $n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot \cdots \cdot p_m^{k_m}$

  $f(n)=f(p_1^{k_1})\cdot f(p_2^{k_2})\cdot \cdots \cdot f(p_m^{k_m})=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdot \cdots \cdot p_m^{k_m}=n$
  \begin{aligned}\end{aligned}

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欧拉定理

若$a,m$互质，$a^{\phi (m)}\equiv 1(modm)$

• 证明

  • 剩余系 指对于某一个特定的正整数$n$，一个整数集中的数$modn$所得的余数域。
    • 完全剩余系 设$m\in Z+$，若$r_0,r_1,...r_{m-1}$为$m$个整数，并且两两模$m$不同余，则$r_0,r_1,...r_{m-1}$叫作模$m$的一个完全剩余系。
    • 缩系 设$A$是$modn$的剩余系，若任意$A$中两个元素相乘$modn$后仍为$A$中的元素,则称$A$为$modn$的缩系
    • 若$a,m$互质，则$m$的一个缩系为
      $\{x_1,x_2,x_3...x_{\phi (m)}\}$
      $\{a{x}_1\%m,a{x}_2\%m,a{x}_3\%m...a{x}_{\phi (m)}\%m\}$也是$modm$的缩系
      于是可以得到
      ${\sum }_{i=1}^{\phi (m)}a{x}_i\equiv {\sum }_{i=1}^{\phi (m)}{x}_i(modm)$
      $a^{\phi (m)}{\sum }_{i=1}^{\phi (m)}{x}_i\equiv {\sum }_{i=1}^{\phi (m)}{x}_i(modm)$
      $a^{\phi (m)}\equiv 1(modm)$
      • 而当$m$为质数时，$\phi (m)=m-1$
        $a^{(m-1)}\equiv 1(modm)$
        这就是我们熟知的 费马小定理

• 变式 $a,m$互质$a^b\equiv a^{b\%\phi (m)}(modm)$

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扩展欧拉定理

若$b>\phi (m)$ 即使$a,m$不互质，$a^b\equiv a^{b\%\phi (m)+\phi (m)}\left(modm\right)$

• 证明
  从$m$中提一个质因子$p$出来 令$m=p^k\cdot s$
  有$gcd(p^k,s)=1$，即$p^k,s$互质
  根据欧拉定理，我们知道$p^{\phi (s)}\equiv 1(mods)$
  根据欧拉函数是积性函数，我们知道$\phi (s)|\phi (m)$所以有$p^{\phi (m)}\equiv p^{\phi (s)}(mods)$
  设$p^{\phi (s)}=xs+1$
  那么$p^{\phi (s)+k}=xm+p^k$
  所以$p^{\phi (s)+k}\equiv p^k(modm)$，也有$p^{\phi (m)+k}\equiv p^k(modm)$
  当$b>=k$时，$p^b\equiv p^{b-k}\cdot p^k\equiv p^{b-k}\cdot p^{\phi (s)+k}\equiv p^{b+\phi (m)}(modm)$
  又因为$k<=\phi (p^k)<=\phi (m)$，所以当$b>=2\phi (m)$时，满足$p^b\equiv p^{b-\phi (m)}(modm)$
  注意是$2\phi (m)$!
  所以可以得到$p^b\equiv p^{b\%\phi (m)+\phi (m)}(modm)$
  因此我们可以得到对任意质数$p$都有$b>=2\phi (m),p^b\equiv p^{b\%\phi (m)+\phi (m)}(modm)$
  非$m$质因子的$p$，有欧拉定理
  将$a$因式分解，可以得到
  $a^b\equiv a^{b\%\phi (m)+\phi (m)}(modm)$
  • 注意 $b<\phi (m)$时，公式不一定成立

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线性筛法

类似与筛素数，我们在这里利用欧拉函数是积性函数这个性质来筛$\phi$
$\mathcal{C}ode$

int cnt;
int prime[maxn],phi[maxn];
bool vis[maxn];
void Euler_sieve (int n)
{
	phi[1]=1;
	for (int i=2;i<=n;++i){
		if (!vis[i])	prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
		for (int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<=n;++j){
			vis[i*prime[j]]=true;
			if (i%prime[j]==0){	phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
		}
	}
} 

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欧拉反演

利用欧拉函数的一条性质
$\begin{array}{r}n=\sum _{d|n}\phi (d)\end{array}$
(上面有证明)
我们试着把$n$换成其他东西试试
$\begin{array}{r}gcd(i,j)=\sum _{d|gcd(i,j)}\phi (d)=\sum _{d|i}\sum _{d|j}\phi (d)\end{array}$
让我们求个东西试试
$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^{n}gcd(i,n)=\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}\sum _{d|n}\phi (d)=\sum _{d|n}\sum _{i=1}^n\sum _{d|i}\phi (d)=\sum _{d|n}\frac{n}{d}\phi (d)\end{array}$
把它重写一遍作为结论
$\begin{array}{r}\sum _{i=1}^{n}gcd(i,n)=\sum _{d|n}\frac{n}{d}\phi (d)\end{array}$

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