常用数学公式

古典概型

1. 定义：
   （1） 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
   （2） 试验中每个基本事件出现的可能性相等。
   具有以上两个特点的概率模型是大量存在的，这种概率模型称为古典概率模型，简称古典概型，也叫等可能概型。
2. 概率公式：
   
   P（A）=mn=A包含的基本事件的个数m基本事件的总数n P （ A ） = m n = A 包 含 的 基 本 事 件 的 个 数 m 基 本 事 件 的 总 数 n

概率公式

条件概率

P(A|B)=P(AB)B P ( A | B ) = P ( A B ) B

全概率公式

P(A)=∑iP(A|Bi)P(Bi) P ( A ) = ∑ i P ( A | B i ) P ( B i )

贝叶斯公式

P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)∑jP(A|Bj)P(Bj) P ( B i | A ) = P ( A | B i ) P ( B i ) ∑ j P ( A | B j ) P ( B j )

P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B) P ( A | B ) = P ( B | A ) P ( A ) P ( B )

给定某系统的若干样本x，计算该系统的参数，即

P(θ|x)=P(x|θ)P(θ)P(x) P ( θ | x ) = P ( x | θ ) P ( θ ) P ( x )

P(θ) P ( θ ) ：没有数据的支持下， θ θ 发生的概率：先验概率。例如：在没有任何信息的前提下，猜测某人姓氏：先猜测李王张刘……猜对的概率比较大
P(θ|x) P ( θ | x ) ：在数据的支持下， θ θ 发生的概率：后验概率。若知道某人来自“刘家村”，则他姓刘的概率比较大
P(x|θ) P ( x | θ ) ：给定某参数 θ θ 的概率分布：似然函数

分布

两点分布（0-1分布/伯努利分布）

已知随机变量X的分布律为：

P(x=1)=p，P(x=0)=1−p P ( x = 1 ) = p ， P ( x = 0 ) = 1 − p

则有：

E(X)=1⋅p+0⋅(1−p)=p E ( X ) = 1 ⋅ p + 0 ⋅ ( 1 − p ) = p

D(X)=E(X2)−[E(X)]2=12p+02(1−p)−p2=p(1−p) D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 = 1 2 p + 0 2 ( 1 − p ) − p 2 = p ( 1 − p )

二项分布

设随机变量 X X 服从参数为 n,p n , p 二项分布，
1. 设 Xi X i 为第 i i 次实验中事件 A A 发生的次数， i=1,2,...,n i = 1 , 2 , . . . , n
则

X=∑i=1nXi X = ∑ i = 1 n X i

显然， Xi X i 相互独立均服从参数为 p p 的0-1分布，
所以， E(X)=∑ni=1E(Xi)=np E ( X ) = ∑ i = 1 n E ( X i ) = n p
D(X)=∑ni=1D(Xi)=np(1−p) D ( X ) = ∑ i = 1 n D ( X i ) = n p ( 1 − p )
2. X X 的分布律为

PX=k=(nk)pk(1−p)n−k,(k=0,1,2,...,n) P X = k = ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k , ( k = 0 , 1 , 2 , . . . , n )

则有

E(X)=∑k=0nk⋅P{X=k}=∑k=0nk(nk)pk(1−p)n−k=np E ( X ) = ∑ k = 0 n k ⋅ P { X = k } = ∑ k = 0 n k ( n k ) p k ( 1 − p ) n − k = n p

E(X2)=(n2−n)p2+np E ( X 2 ) = ( n 2 − n ) p 2 + n p

D(X)=np(1−p) D ( X ) = n p ( 1 − p )

泊松分布

定义

　　泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。如：
　　1. 汽车站台的候车人数；
　　2. 自然灾害发生次数；
　　3. 机器出现故障的次数等

概率分布函数为：

P(N(t)=n)=(λt)nn!e−λt(n=0,1,2,......) P ( N ( t ) = n ) = ( λ t ) n n ! e − λ t ( n = 0 , 1 , 2 , . . . . . . )

　　 λ>0 λ > 0 是常数，是区间事件发生率的均值。
　　其中P表示概率，N表示某种函数关系，t表示时间，n表示数量， λ λ 表示事件的频率。如已知平均每个小时出生3个新生儿，求下一个小时出生两个婴儿的概率：

P(N(1)≥2)=1−P(N(1)=1)−P(N(1)=0)=1−(3×1)1e−3×11!−(3×1)0e−3×10!=1−4e−3 P ( N ( 1 ) ≥ 2 ) = 1 − P ( N ( 1 ) = 1 ) − P ( N ( 1 ) = 0 ) = 1 − ( 3 × 1 ) 1 e − 3 × 1 1 ! − ( 3 × 1 ) 0 e − 3 × 1 0 ! = 1 − 4 e − 3

期望：

　　

E(X)=∑k=0∞k⋅λkk!e−λ=e−λ∑k=1∞λk−1(k−1)!⋅λ=λe−λ⋅eλ=λ E ( X ) = ∑ k = 0 ∞ k ⋅ λ k k ! e − λ = e − λ ∑ k = 1 ∞ λ k − 1 ( k − 1 ) ! ⋅ λ = λ e − λ ⋅ e λ = λ

方差：

　　

E(X2)=E[X(X−1)+X]=E[X(X−1)]+E(X)=∑k=0+∞k(k−1)⋅λkk!e−λ+λ=λ2e−λ∑k=2+∞⋅λk−2(k−1)!+λ=λ2e−λeλ+λ=λ2+λ E ( X 2 ) = E [ X ( X − 1 ) + X ] = E [ X ( X − 1 ) ] + E ( X ) = ∑ k = 0 + ∞ k ( k − 1 ) ⋅ λ k k ! e − λ + λ = λ 2 e − λ ∑ k = 2 + ∞ ⋅ λ k − 2 ( k − 1 ) ! + λ = λ 2 e − λ e λ + λ = λ 2 + λ

所以， D(X)=E(X2)−[E(X)]2=λ2+λ−λ2=λ D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 = λ 2 + λ − λ 2 = λ
即，泊松分布的期望和方差都为 λ λ

分布图形

　　泊松分布的大概图形：
越在频率附近发生的概率越高

指数分布

　　指数分布是事件的时间间隔的概率。如：
　　1. 婴儿出生的时间间隔；
　　2. 来电的时间间隔；
　　3. 奶粉销售的时间间隔；
　　4. 网站访问的时间间隔

分布函数

　　指数分布的分布函数可以由泊松分布来推断。如果下一个婴儿出生要间隔时间t,就等同于在时间t内没有婴儿出生。由泊松分布公式可得：

P(X>t)=P(N(t)=0)=(λt)0e−λt0!=e−λt P ( X > t ) = P ( N ( t ) = 0 ) = ( λ t ) 0 e − λ t 0 ! = e − λ t

　　反之，时间在时间t之内发生的概率，就是1减去上面的值。

P(X≤t)=1−P(X>t)=1−e−λt P ( X ≤ t ) = 1 − P ( X > t ) = 1 − e − λ t

无记忆性

指数函数的无记忆性是指，如果x是某电器元件的寿命，已知元件使用了s小时，则共使用至少 s+t s + t 小时的条件概率，与从未使用开始至少使用 t t 小时的概率相等。

均匀分布

设 X∼U(a,b) X ∼ U ( a , b ) ，其概率密度为

f(x)=⎧⎩⎨⎪⎪1b−a，(a<x<b)，0，其他.(1) (1) f ( x ) = { 1 b − a ， ( a < x < b ) ， 0 ， 其 他 .

则有

E(X)=∫∞−∞xf(x)dx=∫ba1b−axdx=12(a+b) E ( X ) = ∫ − ∞ ∞ x f ( x ) d x = ∫ a b 1 b − a x d x = 1 2 ( a + b )

D(X)=E(X2)−[E(X)]2=∫bax21b−adx−(a+b2)2=(b−a)212 D ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X ) ] 2 = ∫ a b x 2 1 b − a d x − ( a + b 2 ) 2 = ( b − a ) 2 12

正态分布

　　正态分布又叫高斯分布。正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟型，又经常称之为钟形曲线。
　　若随机变量 X X 服从一个数学期望为 μ μ 、方差为 σ2 σ 2 的正态分布，记为 N(μ,σ2) N ( μ , σ 2 ) 。其概率密度函数为正态分布的期望值 μ μ 决定了其位置，其标准差 σ σ 决定了分布的幅度。当 μ=0,σ=1 μ = 0 , σ = 1 时的正态分布是标准正态分布。
　　

定理

　　为了便于描述和应用，常将正态变量做数据转换。将一般正态分布转化为标准正态分布。
　　若 X∼N(μ,σ2),Y=X−μσ∼N(0,1) X ∼ N ( μ , σ 2 ) , Y = X − μ σ ∼ N ( 0 , 1 )
　　服从标准正态分布，通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变换被称为标准化变换。

定义

一维正态分布

　　若随机变量X服从一个位置参数为 μ μ 、尺度参数为 σ σ 的概率分布，且其概率密度函数为

f(x)=1σ2π‾‾‾√exp(−(x−μ)22σ2) f ( x ) = 1 σ 2 π exp ⁡ ( − ( x − μ ) 2 2 σ 2 )

　　则这个随机变量就称为 正态随机变量，正态随机变量服从的分布就称为 正态分布，记作 X∼N(μ,σ2) X ∼ N ( μ , σ 2 ) ，读作X服从 N(μ,σ2) N ( μ , σ 2 ) ，或服从正态分布。
　　 μ μ 维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。

标准正态分布

　　当 μ=0,σ=1 μ = 0 , σ = 1 时，正态分布就称为标准正态分布

f(x)=12π‾‾‾√e(−x22) f ( x ) = 1 2 π e ( − x 2 2 )