[时间序列分析][4]--AR模型,MA模型,ARMA模型介绍

自相关和偏自相关的两个函数代码

由于后面会经常画一组序列自相关和偏自相关的图像，所以就把自己写的这个两个画图的函数的代码贴上，供大家参考。

• 首先是自相关的函数
  输入的三个参数分别是{数据，滞后数，置信度}

pacf[data_, lmax_, clev_: 0.95] := 
  Show[ListPlot[CorrelationFunction[data, {lmax}], Filling -> Axis, 
    PlotRange -> {{0, lmax}, {-1.5, 1.5}}, 
    PlotStyle -> PointSize[Medium], PlotLabel -> "自相关图", 
    FillingStyle -> Directive[Thickness[.01], Green, Dashed]],
   Graphics[{Dashed, Line[{{0, #}, {lmax, #}}]}] & /@ (
    Quantile[NormalDistribution[], {(1 - clev)/2, 1 - (1 - clev)/2}]/
    Sqrt[Length[data]])];

• 接着是偏自相关的函数

papf[data_, lmax_, clev_: 0.95] := 
  Show[ListPlot[PartialCorrelationFunction[data, {lmax}], 
    Filling -> Axis, PlotRange -> {{0, lmax}, {-1.5, 1.5}}, 
    PlotStyle -> PointSize[Medium], PlotLabel -> "偏自相关图", 
    FillingStyle -> Directive[Thickness[.01], Green, Dashed]],
   Graphics[{Dashed, Line[{{0, #}, {lmax, #}}]}] & /@ (
    Quantile[NormalDistribution[], {(1 - clev)/2, 1 - (1 - clev)/2}]/
    Sqrt[Length[data]])];

AR模型

AR模型的定义

—————

AR模型平稳性判别

AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的 。

判别方法
1. 单位根判别法
2. 平稳域判别法

关于这两种方法的证明挺长的，由于要是我们分析实际数据，是不必考虑这些的，关于平稳性只是从模型的角度去推的，所以我准备不讲这两个方法的推到，举几个平稳和不平稳的例子看一下。

第一个平稳的AR模型

这个AR模型的递推式子是x[t]=0.8*x[t-1]+e，其实e是一个误差项。
x[1]=5,x[2]=3

Clear[x];
x[1] = 5;
x[2] = 3;
 x[t_] := x[t] = .8*x[t - 1] + RandomReal[NormalDistribution[]];
ListPlot[
 Table[x[i], {i, 1, 100}],
 PlotRange -> All,
 PlotRangePadding -> Scaled[.09],
 Filling -> Axis
 ]

我们看一下画出来的图像

我们看一下他没有噪声的图像是什么样子的

Clear[x];
x[1] = 5;
x[2] = 3;
 x[t_] := x[t] = .8*x[t - 1];
ListPlot[
 Table[x[i], {i, 1, 100}],
 PlotRange -> All,
 PlotRangePadding -> Scaled[.09],
 Filling -> Axis
 ]

来看一下他的图像

我们可以看到是这样单调递减趋于0的

第二个平稳的AR模型

我们再来看一个平稳的AR模型

Clear[x];
x[1] = 5;
x[2] = 3;
 x[t_] := 
  x[t] = x[t - 1] - .5 x[t - 2] + RandomReal[NormalDistribution[]];
data = Table[x[i], {i, 1, 100}];
ListPlot[
 data,
 PlotRange -> All,
 PlotRangePadding -> Scaled[.09],
 Filling -> Axis
 ]

看一下画出来的图像

其实我很好奇这样的数据是不是白噪声，我们来做一下检验 首先我们来看一下他的自相关系数和偏自相关系数

pacf[data, 20, .95]
papf[data, 20, .95]

我们看自相关图可以很明显的看出其有一阶自相关，不是白噪声 接着我们做一下白噪声检验

ListPlot[Table[
  AutocorrelationTest[Table[x[i], {i, 1, 100}], i], {i, 1, 10}], 
 Filling -> Axis, PlotRange -> All]

可以看到p - 值很小，不是白噪声。 > 有没有觉得很神奇，明明看上去一点规律都没有的数据，其实是有规律的。我们老师最近总是爱引用爱因斯坦的一句话，宇宙最不能让人理解的地方, 是宇宙竟然能够被理解

非平稳的AR模型

接下来我们看一个非平稳的AR模型

Clear[x]
x[1] = 5;
x[2] = 3;
 x[t_] := 
  x[t] = x[t - 1] + .5 x[t - 2] + RandomReal[NormalDistribution[]];
ListPlot[
 Table[x[i], {i, 1, 100}],
 PlotRange -> All,
 PlotRangePadding -> Scaled[.09],
 Filling -> Axis
 ]

可以看到其散点图是不收敛的。

AR模型的一些性质

1. 若AR模型满足平稳性条件，则他的均值为0，我们可以从上面的图中看出
2. AR模型的自相关系数是呈复指数衰减– 有拖尾性
3. AR模型的偏自相关系数有截尾性
   注意第二,第三条很重要，后面可以用来做模型的识别。我在强调一遍
   AR模型的自相关系数是呈复指数衰减– 有拖尾性
   * AR模型的偏自相关系数有截尾性*

MA模型

MA模型的定义

MA模型的可逆性

这个性质在推到MA模型的相关系数和自相关系数的时候比较有用，在这里我们就大概了解一下他是什么意思。
看一下可逆的定义

接下来看一下MA模型怎么转换成AR模型

最后我们看一下什么样的MA模型可以转化为AR模型

可逆MA模型的应用

对于一些MA模型，虽然其生成的式子不一样，但是其自相关图是一样的，要是我们能用可逆的MA来做分析，可以将问题变得简洁，当然这些都是在式子推导的过程中的问题，在处理数据时我们可以不考虑这些。
下面我们来看一个式子不同但自相关系数图一样的例子：

rd = RandomReal[NormalDistribution[], {100}];
data = RotateLeft[rd] - 2*rd;
data = data[[;; -2]];
Transpose[{data, RotateLeft[data]}] // ListPlot
ListLinePlot[data]
pacf[data, 20, 0.95]
papf[data, 20, 0.95]
ListPlot[Table[AutocorrelationTest[data, i], {i, 1, 10}], 
 Filling -> Axis, PlotRange -> All, PlotLabel -> "白噪声检验"]

这个代码应该会画出5张图片，我这里暂时不全放。看一下其自相关和偏自相关图：

data = RotateLeft[rd] - .5*rd;
data = data[[;; -2]];
Transpose[{data, RotateLeft[data]}] // ListPlot
ListLinePlot[data]
pacf[data, 20, 0.95]
papf[data, 20, 0.95]
ListPlot[Table[AutocorrelationTest[data, i], {i, 1, 10}], 
 Filling -> Axis, PlotRange -> All, PlotLabel -> "白噪声检验"]

这个真的是两张图片，可以看到他们是一样的，完全一样的。 而第一个是可逆的，即可以转换为AR模型的，具体转换方式可以看下图

MA模型的性质

1. 自相关系数q阶截尾
2. 偏自相关系数q阶拖尾
   这个是只有自相关系数是截尾的
   很重要，后面模型的识别会用到

ARMA模型

ARMA模型的定义

ARMA模型的一个例子

看一个ARMA (1, 1) 的例子 - xt = .5*x (t - 1) + et - 0.8 e (t - 1)

Clear[x];
x[1] = 10;
rd = RandomReal[NormalDistribution[0, .1], {100}];
temp = RotateLeft[rd] - .8*rd;
x[t_] := x[t] = .7*x[t - 1] + temp[[t - 1]];
data = Table[x[i], {i, 1, 100}];
Transpose[{data, RotateLeft[data]}] // ListPlot
ListLinePlot[data]
pacf[data, 20, 0.95]
papf[data, 20, 0.95]
ListPlot[Table[AutocorrelationTest[data, i], {i, 1, 10}], 
 Filling -> Axis, PlotRange -> All, PlotLabel -> "白噪声检验"]

第一张图片是前后数据画的散点图，可以用来看是否有一阶自相关，第二张图是时序图

ARMA模型的性质

1. 自相关系数拖尾
2. 偏自相关系数拖尾
   这个是两个系数都拖尾

三个模型性质的总结

后记

这是我用MarkDown写的第一篇文章，感觉还是挺方便的，一切还在熟悉当中

放一下markdown的一些快捷键

一些markdown的快捷键

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2017/4/20