[bzoj4007]【JLOI2015】战争调度(war)

Description

脸哥最近来到了一个神奇的王国，王国里的公民每个公民有两个下属或者没有下属，这种
关系刚好组成一个 n 层的完全二叉树。公民 i 的下属是2* i 和2* i+1。最下层的公民即叶子
节点的公民是平民，平民没有下属，最上层的是国王，中间是各级贵族。现在这个王国爆发了
战争，国王需要决定每一个平民是去种地以供应粮食还是参加战争，每一个贵族（包括国王自
己）是去管理后勤还是领兵打仗。一个平民会对他的所有直系上司有贡献度，若一个平民 i 参
加战争，他的某个直系上司 j 领兵打仗，那么这个平民对上司的作战贡献度为 wij。若一个平民
i 种地，他的某个直系上司 j 管理后勤，那么这个平民对上司的后勤贡献度为 fij，若 i 和 j 所
参加的事务不同，则没有贡献度。为了战争需要保障后勤，国王还要求不多于 m 个平民参加
战争。国王想要使整个王国所有贵族得到的贡献度最大，并把这件事交给了脸哥。但不幸的是，
脸哥还有很多 deadline 没有完成，他只能把这件事又转交给你。你能帮他安排吗？

Input

第一行两个数 n;m。接下来 2n−1 行，每行n-1 个数，第 i 行表示编号为 2n−1 -1+ i 的平民对其n-1直系上司的作战贡献度，其中第一个数表示对第一级直系上司，即编号为 ( 2n−1 -1+ i)/2 的贵族的作战贡献度 wij，依次往上。接下来 2n−1 行，每行n-1个数，第i行表示编号为 2n−1 -1+ i的平民对其n-1个直系上司的后勤贡献度，其中第一个数表示对第一级直系上司，即编号为 ( 2n−1 -1+ i)/2 的贵族的后勤贡献度 fij ，依次往上。

Output

一行一个数表示满足条件的最大贡献值

Sample Input

3 4
503 1082
1271 369
303 1135
749 1289
100 54
837 826
947 699
216 389

Sample Output

6701

Data Constraint

对于 100% 的数据，2≤n≤10,m≤ 2n−1 1,0≤wij,fij≤2000

分析

直接枚举每个人的状态， 2210 ，超时！
但是我们发现，对于第i层的一个节点，它的所有祖先的状态已经确定了，那么它的两个儿子的状态是相互独立的。

那么考虑用dfs。假如当前搜到非叶子节点x，它的所有祖先的状态已经确定，那么枚举这个节点的状态，然后分别搜索两个儿子。设f[i][j]为当前状态下，以i为根的子树，取了j个平民参加战争，所获得的最大收益，那么以两个儿子的f来更新f[x]。
如果当前搜到的是叶子节点，那么只要O(n)扫一遍状态即可算出f[x][0] , f[x][1]

算一下时间复杂度

设T(i)为第i层节点求一次答案的时间复杂度。
T(n)=n
对于i < n首先枚举状态0/1，然后分别对下一层分别求答案O(2*T(i+1))，接着一次合并答案O( 22∗n−2∗i )（因为第i层只有 2n−i 个叶子节点）
那么得出式子T(i)=2* (2* T(i+1)+ 22∗n−2∗i )=4*T(i+1)+ 22∗n−2∗i+1 （1≤i< n）
所以总时间复杂度可以近似看成 O(n∗22n)

bzoj上跑了192ms

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

const int maxn=1025;

int n,m,w[maxn][10],f[maxn][10],s[maxn][maxn],ans;

void dfs(int x,int y,int st,int cnt)
{
    for (int i=0;i<=cnt;i++) s[x][i]=0;
    if (y==n-1)
    {
        for (int j=0;j<y;j++)
            if ((st & (1<0) s[x][1]+=w[x-(1<<y)][j];else s[x][0]+=f[x-(1<<y)][j];
        return;
    }
    dfs(x*2,y+1,st,cnt/2); dfs(x*2+1,y+1,st,cnt/2);
    for (int i=0;i<=cnt/2;i++)
        for (int j=0;j<=cnt/2;j++)
            s[x][i+j]=max(s[x][i+j],s[x*2][i]+s[x*2+1][j]);
    dfs(x*2,y+1,st+(1<<y),cnt/2); dfs(x*2+1,y+1,st+(1<<y),cnt/2);
    for (int i=0;i<=cnt/2;i++)
        for (int j=0;j<=cnt/2;j++)
            s[x][i+j]=max(s[x][i+j],s[x*2][i]+s[x*2+1][j]);
}

int main()
{
    freopen("war.in","r",stdin); freopen("war.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=0;i<(1<<(n-1));i++)
        for (int j=n-2;j>=0;j--) scanf("%d",&w[i][j]);
    for (int i=0;i<(1<<(n-1));i++)
        for (int j=n-2;j>=0;j--) scanf("%d",&f[i][j]);
    dfs(1,0,0,1<<(n-1));
    ans=0;
    for (int i=0;i<=m;i++) ans=max(ans,s[1][i]);
    printf("%d\n",ans);
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}