拉格朗日插值与范德蒙矩阵

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鉴于在博客中写公式略显难看，有碍观瞻，博客中的内容我都事先用latex写了一个pdf的文档，可以在下链接下载 

http://download.csdn.net/detail/xue_haiyang/7640513

下面所写的难免有各种错误，还请留言批评指正（欢迎任意的批评交流）

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博客（http://blog.csdn.net/xue_haiyang/article/details/37822137）分析了中国剩余定理和拉格朗日插值公式之间

内在的联系和理解。

这篇文章分析拉格朗日插值公式和Vandermonde矩阵的关系，并且使用JAVA实现拉格朗日插值公式。

拉格朗日插值

下面看看传说中的拉格朗日差值公式。实际上这个同中国剩余定理一样是一个交换环上的同构定理，

只不过这个是在多项式环上而已.

我这里为了好理解，不再看更高次的多项式。只分析两次三个插值点的例子，更高次的多项式可以简单的推广。

我们考虑一个二次多项式, 给定三对点 求多项式的问题。

令, ,,

,

,

,

我们同样有多项式环上的同构定理

具体表现在插值的公式里就是

最后需要求的多项式就是

Vandermonde矩阵

我们重新审视插值问题是给定点 和相应的值 求二次多项式?

实际上就是下面的线性方程组

Vandermonde矩阵就是上面类型的矩阵，详细请见【1】。

Vandermonde矩阵的逆记成 则

如果把写开其实有

拉格朗日插值的实现

下面是拉格朗日插值公式在JAVA下的实现

这里只是实现了三个点的二次插值公式的求解

public class Largrange {
	
	public static double[] Insert(double[] a, double[] b)
	{
		int len = a.length;
		int len1=b.length;
		
		double[] f=new double [len];
	    if (len==len1)
		{
		//分母部分
		double[] inv= new double [len];
		for (int i=0; i





【1】http://en.wikipedia.org/wiki/Vandermonde_matrix