- 1. 引言
- 2. 准备知识
- 3. 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程
- 3.1 常系数齐次线性微分方程的解
- 3.2 Euler方程
- 4. 非齐次线性微分方程(比较系数法)
- 4.1 形式 I
- 4.2 形式 II
- 4.3 Euler方程的另一种解法
- 参考文献
1. 引言
本文主要讲常系数线性微分方程的特征值法做了总结。在文献[1]的4.2节,详细介绍了常系数线性微分方程的解法,对特征方程根的各种情况(实根或复根&根的重数)进行分类讲解,但由于分类过于仔细,使得读者对根的情况的记忆比较困难,本文致力于将特征根的各种情形统一处理,便于对微分方程解进行记忆.
2. 准备知识
本节所有的研究都是围绕着方程
dnxdtn+a1(t)dn−1xdtn−1+⋯+an−1(t)dxdt+an(t)x=f(x)(1) d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( t ) d x d t + a n ( t ) x = f ( x ) ( 1 )
进行的.其中
ai(t)(i=1,2,⋯,n) a i ( t ) ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) 及
f(t) f ( t ) 都是区间
[a,b] [ a , b ] 上的连续函数.
如果{}
f(t)≡0 f ( t ) ≡ 0 ,则方程(1)变为
dnxdtn+a1(t)dn−1xdtn−1+⋯+an−1(t)dxdt+an(t)x=0(2)(5) (5) d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( t ) d x d t + a n ( t ) x = 0 ( 2 )
设
K=α+ K = α + i
β β 是任意复数,这里
α,β α , β 是实数,
t t 为实变量,那么有
eKt=e(α+iβ)t=eαt(cosβt+isinβt)(3)(6) (6) e K t = e ( α + i β ) t = e α t ( cos β t + i sin β t ) ( 3 )
此公式可通过泰勒展开进行验证.
定理1.1 如果方程(2)中所有系数
ai(t)(i=1,2,⋯,n) a i ( t ) ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) 都是实值函数,而
x=z(t)=φ(t)+iψ(t) x = z ( t ) = φ ( t ) + i ψ ( t ) 是方程的复值解,则
z(t) z ( t ) 的实部
φ(t) φ ( t ) ,虚部
ψ(t) ψ ( t ) 和共轭复数
z¯¯¯(t) z ¯ ( t ) 也都是方程(2)的解.
定理1.2若方程
dnxdtn+a1(t)dn−1xdtn−1+⋯+an−1(t)dxdt+an(t)x=u(t)+iv(t) d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( t ) d x d t + a n ( t ) x = u ( t ) + i v ( t )
有复值解
x=U(t)+iV(t) x = U ( t ) + i V ( t ) ,这里
ai(t)(i=1,2,⋯,n) a i ( t ) ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) 及
U(t),V(t) U ( t ) , V ( t ) 都是实函数,那么这个解的实部
U(t) U ( t ) 和虚部
V(t) V ( t ) 分别是方程
dnxdtn+a1(t)dn−1xdtn−1+⋯+an−1(t)dxdt+an(t)x=u(t) d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( t ) d x d t + a n ( t ) x = u ( t )
和
dnxdtn+a1(t)dn−1xdtn−1+⋯+an−1(t)dxdt+an(t)x=v(t) d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( t ) d x d t + a n ( t ) x = v ( t )
的解.
注:上面两个定理保证了下述内容的正确性.
定理1.1和定理1.2均来自文献[1].
3. 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程
3.1 常系数齐次线性微分方程的解
设齐次线性微分方程中所有系数都是常数,即方程有如下形状
L[x]≡dnxdtn+a1dn−1xdtn−1+⋯+an−1dxdt+anx=0(4)(7) (7) L [ x ] ≡ d n x d t n + a 1 d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 d x d t + a n x = 0 ( 4 )
其中
a1,a2,⋯,an a 1 , a 2 , ⋯ , a n 为常数.
按照前面的理论,为了求方程(4)的通解,只需求其基本解组.回顾一阶常系数齐次微分方程
dxdt+ax=0 d x d t + a x = 0
已知,它有形如
x=e−at x = e − a t 的解,且其通解就是
x=ce−at x = c e − a t .这就启发我们对方程(3)也去试求指数函数形式的解
x=eλt(5)(8) (8) x = e λ t ( 5 )
其中
λ λ 是待定常数,可以是实数,也可以是复数.
注意到
L[eλt]=dneλtdtn+a1dn−1eλtdtn−1+⋯+an−1deλtdt+aneλt=(λn+a1λn−1+⋯+an−1+an)eλt≡F(λ)eλt L [ e λ t ] = d n e λ t d t n + a 1 d n − 1 e λ t d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 d e λ t d t + a n e λ t = ( λ n + a 1 λ n − 1 + ⋯ + a n − 1 + a n ) e λ t ≡ F ( λ ) e λ t
其中
F(λ)=λn+a1λn−1+⋯+an−1+an F ( λ ) = λ n + a 1 λ n − 1 + ⋯ + a n − 1 + a n ,是
λ λ 的
n n 次多项式.式(5)为方程(4)的解的充要条件是
λ λ 是代数方程
F(λ)=λn+a1λn−1+⋯+an−1+an=0(6)(9) (9) F ( λ ) = λ n + a 1 λ n − 1 + ⋯ + a n − 1 + a n = 0 ( 6 )
的根.称(6)为方程(4)的特征方程,它的根就称为特征根.
设方程(4)的某一特征根为
λ(k λ ( k 重,
k⩾1) k ⩾ 1 ) ,则
k k 重特征根
λ λ 对应于方程(4)的
k k 个线性无关解为
eλt,teλt,t2eλt,⋯,tkeλt. e λ t , t e λ t , t 2 e λ t , ⋯ , t k e λ t .
当
λ λ 为复数时,只需用欧拉公式(3)转化,可得到
2k 2 k 个解,而
λ λ 的共轭
λ¯¯¯ λ ¯ 用此办法转化时,也得到相同的
2k 2 k 个解,这与
λ λ 和
λ¯¯¯ λ ¯ 对应
2k 2 k 个解的事实相符.
3.2 Euler方程
形如
xndnydxn+a1xn−1dn−1ydxn−1+⋯+an−1xdydx+any=0(7)(10) (10) x n d n y d x n + a 1 x n − 1 d n − 1 y d x n − 1 + ⋯ + a n − 1 x d y d x + a n y = 0 ( 7 )
的方程称为欧拉方程,这里
a1,a2,⋯,an a 1 , a 2 , ⋯ , a n 为常数.以
y=xk y = x k 代入(7),并约去因子
xk x k ,就得到用来确定
k k 的代数方程
k(k−1)⋯(k−n+1)+a1k(k−1)⋯(k−n+2)+⋯+an=0(8)(11) (11) k ( k − 1 ) ⋯ ( k − n + 1 ) + a 1 k ( k − 1 ) ⋯ ( k − n + 2 ) + ⋯ + a n = 0 ( 8 )
因此,方程(8)的
m m 重根
k0 k 0 对应于方程(7)的
m m 个解为
xk0,xk0ln|x|,xk0ln2|x|,⋯,xk0lnm−1|x|. x k 0 , x k 0 ln | x | , x k 0 ln 2 | x | , ⋯ , x k 0 ln m − 1 | x | .
当为复数时,只需使用欧拉公式转换即可.
4. 非齐次线性微分方程(比较系数法)
下面讨论常系数非齐次线性微分方程
L[x]≡dnxdtn+a1dn−1xdtn−1+⋯+an−1dxdt+anx=f(t)(9)(12) (12) L [ x ] ≡ d n x d t n + a 1 d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 d x d t + a n x = f ( t ) ( 9 )
的解.这里
a1,a2,⋯,an a 1 , a 2 , ⋯ , a n 是常数,
f(t) f ( t ) 是连续函数.
4.1 形式 I
设 f(t)=(b0tm+b1tm−1+⋯+bm−1t+bm)eλt f ( t ) = ( b 0 t m + b 1 t m − 1 + ⋯ + b m − 1 t + b m ) e λ t ,其中 λ λ 及 bi(i=1,2,⋯,n) b i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) 为实常数.则方程(9)有形如
x~=tk(B0tm+B1tm−1+⋯+Bm−1t+Bm)eλt(10)(13) (13) x ~ = t k ( B 0 t m + B 1 t m − 1 + ⋯ + B m − 1 t + B m ) e λ t ( 10 )
的特解.其中
k k 为特征方程
F(λ)=0 F ( λ ) = 0 的根
λ λ 的重数(
λ λ 不是特征根时认为是
0 0 重).而
B0,B1,⋯,Bm B 0 , B 1 , ⋯ , B m 是待定常数,只需将
x~ x ~ 代入原方程,比较对应项的系数即可计算出
B0,B1,⋯,Bm B 0 , B 1 , ⋯ , B m ,也即求出了方程(9)的特解.
4.2 形式 II
设 f(t)=[A(t)cosβt+B(t)sinβt]eαt f ( t ) = [ A ( t ) cos β t + B ( t ) sin β t ] e α t .其中 α,β α , β 为常数,而 A(t),B(t) A ( t ) , B ( t ) 是关于 t t 的实系数多项式, A(t) A ( t ) 与 B(t) B ( t ) 的次数为 m m .则方程(9)有形如
x~=tk[P(t)cosβt+Q(t)sinβt]eαt(11)(14) (14) x ~ = t k [ P ( t ) cos β t + Q ( t ) sin β t ] e α t ( 11 )
的特解.这里
k k 是为特征方程
F(λ)=0 F ( λ ) = 0 的根
α+iβ α + i β 的重数,而
P(t),Q(t) P ( t ) , Q ( t ) 均为待定的带实系数的次数不超过
m m 的
t t 的多形式,将(11)代回(9),通过比较对应项的系数即可求出
P(t),Q(t) P ( t ) , Q ( t ) ,也即求出了方程(9)的特解.
4.3 Euler方程的另一种解法
可用变换 x=et(即t=lnx) x = e t ( 即 t = ln x ) 将Euler方程(7)转化为前述的非齐次线性微分方程,即可求解.
参考文献
[1] 王高雄等. 常微分方程(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.