特征值法解常系数线性微分方程解法总结

1. 引言

　　本文主要讲常系数线性微分方程的特征值法做了总结。在文献[1]的4.2节，详细介绍了常系数线性微分方程的解法，对特征方程根的各种情况（实根或复根&根的重数）进行分类讲解，但由于分类过于仔细，使得读者对根的情况的记忆比较困难，本文致力于将特征根的各种情形统一处理，便于对微分方程解进行记忆.

2. 准备知识

　　本节所有的研究都是围绕着方程

dnxdtn+a1(t)dn−1xdtn−1+⋯+an−1(t)dxdt+an(t)x=f(x)(1) d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( t ) d x d t + a n ( t ) x = f ( x ) ( 1 )

进行的．其中 ai(t)(i=1,2,⋯,n) a i ( t ) ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) 及 f(t) f ( t ) 都是区间 [a,b] [ a , b ] 上的连续函数.
如果{} f(t)≡0 f ( t ) ≡ 0 ，则方程(1)变为

dnxdtn+a1(t)dn−1xdtn−1+⋯+an−1(t)dxdt+an(t)x=0(2)(5) (5) d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( t ) d x d t + a n ( t ) x = 0 ( 2 )

设 K=α+ K = α + i β β 是任意复数，这里 α,β α , β 是实数， t t 为实变量，那么有

eKt=e(α+iβ)t=eαt(cosβt+isinβt)(3)(6) (6) e K t = e ( α + i β ) t = e α t ( cos ⁡ β t + i sin ⁡ β t ) ( 3 )

此公式可通过泰勒展开进行验证．
　　 定理1.1 如果方程(2)中所有系数 ai(t)(i=1,2,⋯,n) a i ( t ) ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) 都是实值函数，而 x=z(t)=φ(t)+iψ(t) x = z ( t ) = φ ( t ) + i ψ ( t ) 是方程的复值解，则 z(t) z ( t ) 的实部 φ(t) φ ( t ) ,虚部 ψ(t) ψ ( t ) 和共轭复数 z¯¯¯(t) z ¯ ( t ) 也都是方程(2)的解．
　　 定理1.2若方程

dnxdtn+a1(t)dn−1xdtn−1+⋯+an−1(t)dxdt+an(t)x=u(t)+iv(t) d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( t ) d x d t + a n ( t ) x = u ( t ) + i v ( t )

有复值解 x=U(t)+iV(t) x = U ( t ) + i V ( t ) ，这里 ai(t)(i=1,2,⋯,n) a i ( t ) ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) 及 U(t),V(t) U ( t ) , V ( t ) 都是实函数，那么这个解的实部 U(t) U ( t ) 和虚部 V(t) V ( t ) 分别是方程

dnxdtn+a1(t)dn−1xdtn−1+⋯+an−1(t)dxdt+an(t)x=u(t) d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( t ) d x d t + a n ( t ) x = u ( t )

和

dnxdtn+a1(t)dn−1xdtn−1+⋯+an−1(t)dxdt+an(t)x=v(t) d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( t ) d x d t + a n ( t ) x = v ( t )

的解．
　　注：上面两个定理保证了下述内容的正确性． 定理1.1和定理1.2均来自文献[1].

3. 常系数齐次线性微分方程和欧拉方程

3.1 常系数齐次线性微分方程的解

　　设齐次线性微分方程中所有系数都是常数，即方程有如下形状

L[x]≡dnxdtn+a1dn−1xdtn−1+⋯+an−1dxdt+anx=0(4)(7) (7) L [ x ] ≡ d n x d t n + a 1 d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 d x d t + a n x = 0 ( 4 )

其中 a1,a2,⋯,an a 1 , a 2 , ⋯ , a n 为常数．
　　按照前面的理论，为了求方程(4)的通解，只需求其基本解组．回顾一阶常系数齐次微分方程

dxdt+ax=0 d x d t + a x = 0

已知，它有形如 x=e−at x = e − a t 的解，且其通解就是 x=ce−at x = c e − a t ．这就启发我们对方程(3)也去试求指数函数形式的解

x=eλt(5)(8) (8) x = e λ t ( 5 )

其中 λ λ 是待定常数，可以是实数，也可以是复数．
　　注意到

L[eλt]=dneλtdtn+a1dn−1eλtdtn−1+⋯+an−1deλtdt+aneλt=(λn+a1λn−1+⋯+an−1+an)eλt≡F(λ)eλt L [ e λ t ] = d n e λ t d t n + a 1 d n − 1 e λ t d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 d e λ t d t + a n e λ t = ( λ n + a 1 λ n − 1 + ⋯ + a n − 1 + a n ) e λ t ≡ F ( λ ) e λ t

其中 F(λ)=λn+a1λn−1+⋯+an−1+an F ( λ ) = λ n + a 1 λ n − 1 + ⋯ + a n − 1 + a n ，是 λ λ 的 n n 次多项式．式(5)为方程(4)的解的充要条件是 λ λ 是代数方程

F(λ)=λn+a1λn−1+⋯+an−1+an=0(6)(9) (9) F ( λ ) = λ n + a 1 λ n − 1 + ⋯ + a n − 1 + a n = 0 ( 6 )

的根．称(6)为方程(4)的特征方程，它的根就称为特征根．
　　设方程(4)的某一特征根为 λ(k λ ( k 重, k⩾1) k ⩾ 1 ) ，则 k k 重特征根 λ λ 对应于方程(4)的 k k 个线性无关解为

eλt,teλt,t2eλt,⋯,tkeλt. e λ t , t e λ t , t 2 e λ t , ⋯ , t k e λ t .

当 λ λ 为复数时，只需用欧拉公式(3)转化，可得到 2k 2 k 个解，而 λ λ 的共轭 λ¯¯¯ λ ¯ 用此办法转化时，也得到相同的 2k 2 k 个解，这与 λ λ 和 λ¯¯¯ λ ¯ 对应 2k 2 k 个解的事实相符．

3.2 Euler方程

　　形如

xndnydxn+a1xn−1dn−1ydxn−1+⋯+an−1xdydx+any=0(7)(10) (10) x n d n y d x n + a 1 x n − 1 d n − 1 y d x n − 1 + ⋯ + a n − 1 x d y d x + a n y = 0 ( 7 )

的方程称为欧拉方程，这里 a1,a2,⋯,an a 1 , a 2 , ⋯ , a n 为常数．以 y=xk y = x k 代入(7)，并约去因子 xk x k ，就得到用来确定 k k 的代数方程

k(k−1)⋯(k−n+1)+a1k(k−1)⋯(k−n+2)+⋯+an=0(8)(11) (11) k ( k − 1 ) ⋯ ( k − n + 1 ) + a 1 k ( k − 1 ) ⋯ ( k − n + 2 ) + ⋯ + a n = 0 ( 8 )

因此，方程(8)的 m m 重根 k0 k 0 对应于方程(7)的 m m 个解为

xk0,xk0ln|x|,xk0ln2|x|,⋯,xk0lnm−1|x|. x k 0 , x k 0 ln ⁡ | x | , x k 0 ln 2 ⁡ | x | , ⋯ , x k 0 ln m − 1 ⁡ | x | .

当为复数时，只需使用欧拉公式转换即可．

4. 非齐次线性微分方程(比较系数法)

　　下面讨论常系数非齐次线性微分方程

L[x]≡dnxdtn+a1dn−1xdtn−1+⋯+an−1dxdt+anx=f(t)(9)(12) (12) L [ x ] ≡ d n x d t n + a 1 d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 d x d t + a n x = f ( t ) ( 9 )

的解．这里 a1,a2,⋯,an a 1 , a 2 , ⋯ , a n 是常数， f(t) f ( t ) 是连续函数．

4.1 形式 I

　　设 f(t)=(b0tm+b1tm−1+⋯+bm−1t+bm)eλt f ( t ) = ( b 0 t m + b 1 t m − 1 + ⋯ + b m − 1 t + b m ) e λ t ，其中 λ λ 及 bi(i=1,2,⋯,n) b i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) 为实常数．则方程(9)有形如

x~=tk(B0tm+B1tm−1+⋯+Bm−1t+Bm)eλt(10)(13) (13) x ~ = t k ( B 0 t m + B 1 t m − 1 + ⋯ + B m − 1 t + B m ) e λ t ( 10 )

的特解．其中 k k 为特征方程 F(λ)=0 F ( λ ) = 0 的根 λ λ 的重数( λ λ 不是特征根时认为是 0 0 重)．而 B0,B1,⋯,Bm B 0 , B 1 , ⋯ , B m 是待定常数，只需将 x~ x ~ 代入原方程，比较对应项的系数即可计算出 B0,B1,⋯,Bm B 0 , B 1 , ⋯ , B m ，也即求出了方程(9)的特解．

4.2 形式 II

　　设 f(t)=[A(t)cosβt+B(t)sinβt]eαt f ( t ) = [ A ( t ) cos ⁡ β t + B ( t ) sin ⁡ β t ] e α t ．其中 α,β α , β 为常数，而 A(t),B(t) A ( t ) , B ( t ) 是关于 t t 的实系数多项式， A(t) A ( t ) 与 B(t) B ( t ) 的次数为 m m ．则方程(9)有形如

x~=tk[P(t)cosβt+Q(t)sinβt]eαt(11)(14) (14) x ~ = t k [ P ( t ) cos ⁡ β t + Q ( t ) sin ⁡ β t ] e α t ( 11 )

的特解．这里 k k 是为特征方程 F(λ)=0 F ( λ ) = 0 的根 α+iβ α + i β 的重数，而 P(t),Q(t) P ( t ) , Q ( t ) 均为待定的带实系数的次数不超过 m m 的 t t 的多形式，将(11)代回(9)，通过比较对应项的系数即可求出 P(t),Q(t) P ( t ) , Q ( t ) ，也即求出了方程(9)的特解．

4.3 Euler方程的另一种解法

　　可用变换 x=et(即t=lnx) x = e t ( 即 t = ln ⁡ x ) 将Euler方程(7)转化为前述的非齐次线性微分方程，即可求解．

参考文献

[1] 王高雄等. 常微分方程(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006.